Aufgabe:
a) Es liegen 5 Münzen mit Kopf nach oben nebeneinander auf einem Tisch. Es werden stets zwei Münzen (in einem Zug) umgedreht (es kann auch die selbe Münze zweimal umgedreht werden). Können jemals alle Münzen mit Zahl nach oben zeigen ?
b) Es liegen wieder 5 Münzen mit Kopf nach oben nebeneinander. Dieses Mal werden stets 3 Drehungen in einem Zug vorgenommen (auch hier kann die gleiche Münze mehrmals umgedreht werden). Können auf diese Weise jemals alle Münzen mit Zahl nach oben zeigen ?
c) Jetzt liegen n∈ℕ Karten mit Kopf nach oben zeigend nebeneinander auf dem Tisch. Es dürfen immer k∈ℕ in einem Zug umgedreht werden. Für welche Zahlenpaare (n;k) ist es möglich, dass nach einer beliebigen Anzahl an Zügen alle Münzen mit Zahl nach oben zeigen, für welche ist es nicht möglich ?
Problem/Ansatz:
Hallo, ich hab erstmal nur zu b) und c) Fragen, ich geh aber mal auf Nummer sicher und teile auch meine Lösung zu a) mit.
a) Wir beginnen ja mit einer geraden Anzahl an Münzen (0), die mit Zahl nach oben zeigen. Die gewünschte Anzahl an Münzen, die mit Zahl nach oben zeigen sollen, ist jedoch ungerade:
Gewünschtes Ergebnis: 5 ≡ 1 mod 2
Mögliche Ergebnisse: 0 + 2x ≡ 0 mod 2
Es ist folglich nicht möglich.
b) Da hier nur gefragt wird, ob es möglich ist (also nicht mit möglichst wenig Zügen etc.), finde ich es hier am einfachsten davon auszugehen, dass man die ersten zwei Umdrehungen für die gleiche Münze verwendet und somit sozusagen „nichts verändert“.
Also bleibt noch eine etwas verändernde Umdrehung pro Zug. Mit dieser könnte man theoretisch jede natürliche Zahl erreichen, also auch 5.
Es ist folglich möglich.
Vom Prinzip her hab ich diese Aufgabe (glaube ich) verstanden, aber wie ich das sauber und formal aufschreiben könnte, weiß ich gerade nicht... hier bitte ich um Vorschläge!
c) Ich weiß nicht, wie ich Zahlen ermitteln soll, die diese „Relation“ erfüllen. Sind das überhaupt konkrete Einzelfälle oder kommt es hier (wie z. B. bei a)) auf bestimmte Verhältnisse bei Restklassen an, sodass man in irgendeiner Weise Parameter nutzen muss? Ideen wären super!
Schon mal vielen Dank im Voraus für alle Beiträge :)
