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Integral-Aufgaben:

In der Grafik ist der Rohstoffverbrauch (Änderungsraten) eines Chemiewerkes dargestellt.

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a) Berechnen Sie die Fläche unter der Kurve im Intervall [0 ; 50] mit Hilfe einer Rechtecksumme mit 5 Teilintervallen.
Interpretieren Sie das Ergebnis im Zusammenhang zur Produktion.

b) Beweisen Sie: Die Funktion V mit V(t) = 2t – e-0,1t * (t² + 20t + 200) ist eine Stammfunktion von v!

c) Berechnen Sie die Integralwerte von \( \int \limits_{0}^{50} v(t) d t \) und  \( \frac{1}{50} * \int \limits_{0}^{50} v(t) d t \)
Erklären Sie die ökonomische Bedeutung dieser Integralwerte!

d) Regel für partielle Integration:
\( \int u^{\prime}(x) * v(x)=u(x) * v(x)-\int u(x) * v^{\prime}(x) \)

d.1) Geben Sie eine Herleitung dieser Rechenregel an.

d.2) Die Stammfunktion von v (vgl. b)) ist durch mehrfache partielle Integration bestimmt worden! Zeigen Sie ausführlich, wie man das gemacht hat!

e) Übung zur Kurvendiskussion:

Berechnen Sie die Extrem- und Wendepunkte der Rohstoffverbrauchskurve.

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Integralrechnung: Rohstoffverbrauch

In der Grafik ist der Rohstoffverbrauch (Änderungsraten) eines Chemiewerkes dargestellt.

v(t) = 2 + e^{- 0.1·t}·0.1·t^2

a) Berechnen Sie die Fläche unter der Kurve im Intervall [0 ; 50] mit Hilfe einer Rechtecksumme mit 5 Teilintervallen. Interpretieren Sie das Ergebnis im Zusammenhang zur Produktion.

∑(t = 0 bis 4) (10 · (2 + e^{- 0.1·(10·t)}·0.1·(10·t)^2)) = 265.0354411

b) Beweisen Sie: Die Funktion V mit V(t) = 2·t - e^{- 0.1·t}·(t^2 + 20·t + 200) ist eine Stammfunktion von v!

V(t) = 2·t - e^{- 0.1·t}·(t^2 + 20·t + 200)
v(t) = 2 + e^{- 0.1·t}·0.1·t^2

c) Berechnen Sie die Integralwerte von ∫(0 bis 50) v(t) dt und 1/50 · ∫(0 bis 50) v(t) dt Erklären Sie die ökonomische Bedeutung dieser Integralwerte!

∫ (0 bis 50) v(t) dt = V(50) - V(0) = 75.06959610 - (- 200) = 275.06959610 ME

Es werden in den 50 Monaten ca. 275 ME des Rohstoffes verbraucht.

 

1/50 · ∫ (0 bis 50) v(t) dt = 275.06959610/50 = 5.501391921

Der Durchschnittliche Monatsverbrauch beträgt ca. 5.5 ME des Rohstoffes.

d) Regel für partielle Integration: ∫ u'(x)·v(x) = u(x)·v(x) - ∫ u(x)·v'(x)

d.1.) Geben Sie eine Herleitung dieser Rechenregel an.

(u(x)·v(x))' = u'(x)·v(x) + u(x)·v'(x)   | Produktregel auf beiden Seiten Integrieren

u(x)·v(x) = ∫ u'(x)·v(x) + ∫ u(x)·v'(x)   | Jetzt noch umformen

∫ u'(x)·v(x) = u(x)·v(x) - ∫ u(x)·v'(x)

d.2.) Die Stammfunktion von v (vgl. b)) ist durch mehrfache partielle Integration bestimmt worden! Zeigen Sie ausführlich, wie man das gemacht hat!

2 + e^{- 0.1·t}·0.1·t^2 dt

2 dt + e^{- 0.1·t}·0.1·t^2 dt

2·t + (-10·e^{- 0.1·t}·0.1·t^2) - -10·e^{- 0.1·t}·0.2·t dt

2·t - e^{- 0.1·t}·t^2 + ∫ e^{- t/10}·2·t dt

2·t - e^{- 0.1·t}·t^2 + (-10·e^{- 0.1·t}·0.2·t) - -10·e^{- 0.1·t}·2 dt

2·t - e^{- 0.1·t}·t^2 - e^{- 0.1·t2·t + 20·e^{- 0.1·t} dt

2·t - e^{- 0.1·t}·t^2 - e^{- 0.1·t2·t - e^{- t/10}·200

2·t - e^{- 0.1·t}·(t^2 + 20·t + 200)

e) Berechnen Sie die Extrem- und Wendepunkte der Rohstoffverbrauchskurve.

v(t) = 2 + e^{- 0.1·t}·0.1·t^2
v'(t) = e^{- 0.1·t}·(0.2·t - 0.01·t^2)
v''(t) = e^{- 0.1·t}·(0.001·t^2 - 0.04·t + 0.2)

Extrempunkte v'(t) = 0

0.2·t - 0.01·t^2 = 0
t = 0 oder t = 20

v(0) = 2 [Tiefpunkt]
v(20) = 7.413411329 [Hochpunkt]

Wendepunkte v''(t) = 0

0.001·t^2 - 0.04·t + 0.2 = 0
t = 5.857864376 oder t = 34.14213562

v(5.857864376) = 3.910182260

v(34.14213562) = 5.835369905

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Danke für die Hilfe.

Wegen der Aufgbe A sind wir immer noch nicht klar geworden wieso Sie den Zahl 10 eingegeben haben und was heißt ∑?

Wegen der Aufgabe C wissen wir auch nicht wie v auf V aufleitet. Vielleicht können Sie uns zeigen wie das geht?
Zeichne in die Skizze mal für das Integral 5 Rechtecke ein. Beginne jedes Rechteck mit der Linken oberen Ecke an der Funktion.

Dann sind die Rechtecke 10 Einheiten breit daher die 10.
bei c) braucht man nicht aufleiten. Man benutzt den Hauptsatz der Integralrechnung.

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