0 Daumen
307 Aufrufe

Sei (an)nN \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} eine monoton fallende Folge nicht negativer reeller Zahlen. Im Laufe dieser Aufgabe soll die Aussage

n=1an konvergiert k=02ka2k konvergiert  \sum \limits_{n=1}^{\infty} a_{n} \text { konvergiert } \Leftrightarrow \sum \limits_{k=0}^{\infty} 2^{k} a_{2^{k}} \text { konvergiert }

gezeigt werden. Gehen Sie dabei wie folgt vor.

(a) Zeigen Sie, dass für (bn)nN,(cn)nN \left(b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}},\left(c_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} definiert durch

b2k+m : =a2k fu¨r alle kN0,0m<2kc2k+m : =a2k+1 fu¨r alle kN0,0m<2k \begin{array}{ll} b_{2^{k}+m}:=a_{2^{k}} & \text { für alle } k \in \mathbb{N}_{0}, 0 \leq m<2^{k} \\ c_{2^{k}+m}:=a_{2^{k+1}} & \text { für alle } k \in \mathbb{N}_{0}, 0 \leq m<2^{k} \end{array}

die Ungleichung

cnanbn fu¨r alle nN c_{n} \leq a_{n} \leq b_{n} \quad \text { für alle } n \in \mathbb{N}
gilt.

(b) Angenommen die Zahlenreihen n=1bn,n=1cn \sum \limits_{n=1}^{\infty} b_{n}, \sum \limits_{n=1}^{\infty} c_{n} konvergieren. Zeigen Sie, dass

k=02ka2k=n=1bn \sum \limits_{k=0}^{\infty} 2^{k} a_{2^{k}}=\sum \limits_{n=1}^{\infty} b_{n}

und

n=1cn=k=02ka2k+1=12(k=02ka2ka1) \sum \limits_{n=1}^{\infty} c_{n}=\sum \limits_{k=0}^{\infty} 2^{k} a_{2^{k+1}}=\frac{1}{2}\left(\sum \limits_{k=0}^{\infty} 2^{k} a_{2^{k}}-a_{1}\right)

gilt.

(c) Folgern Sie die Aussage
n=1an konvergiert k=02ka2k konvergiert  \sum \limits_{n=1}^{\infty} a_{n} \text { konvergiert } \Leftrightarrow \sum \limits_{k=0}^{\infty} 2^{k} a_{2^{k}} \text { konvergiert }

mit dem Majorantenkriterium.

Avatar von

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage