Sei (an)n∈N eine monoton fallende Folge nicht negativer reeller Zahlen. Im Laufe dieser Aufgabe soll die Aussage
n=1∑∞an konvergiert ⇔k=0∑∞2ka2k konvergiert
gezeigt werden. Gehen Sie dabei wie folgt vor.
(a) Zeigen Sie, dass für (bn)n∈N,(cn)n∈N definiert durch
b2k+m : =a2kc2k+m : =a2k+1 fu¨r alle k∈N0,0≤m<2k fu¨r alle k∈N0,0≤m<2k
die Ungleichung
cn≤an≤bn fu¨r alle n∈N
gilt.
(b) Angenommen die Zahlenreihen n=1∑∞bn,n=1∑∞cn konvergieren. Zeigen Sie, dass
k=0∑∞2ka2k=n=1∑∞bn
und
n=1∑∞cn=k=0∑∞2ka2k+1=21(k=0∑∞2ka2k−a1)
gilt.
(c) Folgern Sie die Aussage
n=1∑∞an konvergiert ⇔k=0∑∞2ka2k konvergiert
mit dem Majorantenkriterium.