Nächsten Punkt in Ebene u. Abstand bestimmen

Question

Aufgabe:

Wir betrachten den dreidimensionalen Raum identfiziert mit ℝ³

Gegeben sei die Ebene E in Hessescher Normalform <v,n>= z (ich finde das richtige Symbol hier nicht, deshalb z) mit Normalvektor

n=(-69/√9830, 70/√9830, -13/√9830) (eigentlich ist alles als Vektor übereinander ohne Komma)

und gerichtetem Abstand

z= 507/√9830

Gegeben sei der Punkt Q mit Koordinaten (-99,192,8). Bestimmen sie den nächsten Punkt Q* auf der Ebene und den Abstand d des Punktes von der Ebene E

Lösung:

q*=[39,52,34]

d=2*√9830

Problem/Ansatz:

Ich habe leider keinen Ansatz und und die oben angegebene Lösung stammt nicht von mir. Ich muss also q* und d ausrechnen können. Ich denke, dass man v ausrechnen muss aber ich weiß nicht wie es geht und was danach kommt.

Es wäre sehr lieb, wenn jemand den Rechenweg weiß und teilen könnte.

Answer 1

Hallo,

Willkommen in der Mathelounge!

Allgemein gilt für den Abstand \(d\) eines Punktes \(Q\) von einer Ebene in der Hesseschen Normalform$$d = |\left< Q, n\right> - z|, \quad |n| = 1$$Setze also einfach die gegebenen Größen ein:$$\begin{aligned} d &= \left| \left< \begin{pmatrix}-99\\ 192\\ 8\end{pmatrix}, \space \frac 1{\sqrt{9830}}\begin{pmatrix}-69\\ 70\\ -13\end{pmatrix} \right> - \frac{507}{\sqrt{9830}}\right| \\ &= \left| \frac{20167 - 507}{\sqrt{9830}} \right| \\&= 2\sqrt{9830}\end{aligned}$$Zum Punkt \(Q^*\) kommst Du nun, indem man von \(Q\) sich in Richtung minus \(n\) bewegt um den (vorzeichenbehafteten) Betrag \(d\)$$Q^* = Q - d \cdot n = \begin{pmatrix}-99\\ 192\\ 8\end{pmatrix} - 2 \frac{\sqrt{9830}}{\sqrt{9830}}\begin{pmatrix}-69\\ 70\\ -13\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}39\\ 52\\ 34\end{pmatrix}$$man muss hier nur auf die Richtung aufpassen, indem man schlicht die Betragsstriche bei der Berechnung von \(d\) weg lässt.

Gruß Werner

Comments

Vielen lieben Dank!

Answer 2

Finde eine zur Ebene orthogonale Gerade g durch Q.

Bestimme den Schnittpunkt bon Ebene und Gerade.

:-)