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Aufgabe:

Die Kurve C ist durch die Gleichung: $$y=x^2-2$$ gegeben.

a) Stellen Sie eine Parameterdarstellung von $$C1(t)=\begin{pmatrix} c1(t)\\c2(t) \end{pmatrix}$$ auf.

b) Für welche Parameterwerte (t1,t2), liegt C(t1) u. C(t2) auf der horizontalen Koordinatenachse?

c) Bestimmung von C(t1) + Richtungsvektor der Tangente in diesem Punkt.


Problem/Ansatz:

Ich würde hierbei Hilfe benötigen.

Lg Erwin

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Hallo Erwin,

wenn eine Funktion \(y=f(x)\) gegeben ist, ist eine Parameterdarstellung einfach zu finden. Setze \(x=t\) und dann wird$$C(t) =\begin{pmatrix}x(t)\\ y(t)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}t\\ t^2-2\end{pmatrix} $$

b) Für welche Parameterwerte (t1,t2), liegt C(t1) u. C(t2) auf der horizontalen Koordinatenachse?

auf der horizontalen Koordinatenachse ist \(y=0\). Daraus folgt$$t_{1,2}^2-2 = 0 \quad \implies t_1=\sqrt{2}, \quad t_s=-\sqrt{2}$$

c) Bestimmung von C(t1) + Richtungsvektor der Tangente in diesem Punkt.

Der Richtungsvektor einer Tangente ist die Ableitung der Parameterform nach \(t\)$$\frac{\partial C}{\partial t} =  \begin{pmatrix}1\\ 2t\end{pmatrix}$$Daraus folgt die Parameterform der Tangente \(g\) im Punkt \(C(t_1)\)$$g: \quad \vec x = C(t_1) + \frac{\partial C(t_1)}{\partial t} \mu \\ \phantom{g: \quad \vec x }= \begin{pmatrix}\sqrt{2}\\ 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1\\ 2\sqrt{2} \end{pmatrix} \mu$$

blob.png

das Bild bestätigt die Rechnung.

Gruß Werner

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