Aus G den minimalen und maximalen Abstand bestimmen !

Question

Aufgabe:

Mathematik: Lagrange Methode

Problem/Ansatz:

Gegeben sei die Matrix A= (1 0,5  
                                          0,5 1)

und die Menge G={⃗v∈R2 |⃗vTA⃗v=1}.
Bestimmen Sie die Punkte aus G, die den minimalen und maximalen Abstand zum Koordina- tenursprung haben! Nutzen Sie die Lagrange-Methode. Ich verstehe nicht ganz was man machen muss nachdem man die Haupt und Nebenbedingung gefunden?

Comments

'Menge G={⃗v∈R2 |⃗vTA⃗v=1}' ist nicht lesbar.

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Mein Fehler : hier nochmal G :

Answer 1

Aloha :)

Der Abstand eines Punktes $\vec v=\binom{x}{y}$ vom Koordinatenursprung ist $d(x;y)=\sqrt{x^2+y^2}$. Dieser soll unter der Nebenbedingung, dass der Punkt $\vec v$ zur Menge $G$ gehört optimiert werden. Anstatt der Wurzel können wir auch das Quadrat des Abstandes optimieren (weniger Rechenaufwand):$$f(x;y)=x^2+y^2\to\text{Extremum!}$$$\vec v$ gehört genau dann zu $G$, wenn gilt:$$1=\vec v^T A\vec v=\begin{pmatrix}x & y\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & \frac{1}{2}\\\frac{1}{2} & 1\end{pmatrix}\binom{x}{y}=\begin{pmatrix}x & y\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x+\frac{y}{2}\\\frac{x}{2}+y\end{pmatrix}=x\left(x+\frac{y}{2}\right)+y\left(\frac{x}{2}+y\right)$$$$1=x^2+xy+y^2$$Die Nebenbedingung zur Optimierung von $f(x;y)$ lautet daher:$$g(x;y)=x^2+xy+y^2\stackrel!=1$$

Nach Langrange muss der Gradient der zu optimierenden Funktion proportional zum Gradient der Nebenbedingung sein. Der Proportionalitätsfaktor ist der Lagrange Multiplikator:$$\operatorname{grad}f(x;y)=\lambda\cdot\operatorname{grad}g(x;y)\implies\binom{2x}{2y}=\lambda\binom{2x+y}{x+2y}\implies\frac{2x}{2y}=\frac{\lambda(2x+y)}{\lambda(x+2y)}$$$$\implies2x(x+2y)=2y(2x+y)\implies 2x^2+4xy=4xy+2y^2\implies \underline{\underline{x^2=y^2}}$$

Dieses Ergebnis $x^2=y^2$ setzen wir in die Nebenbedingung mittels einer Fallunterscheidung ein:

1. Fall: $x=-y$:$$1=x^2+xy+y^2=x^2-x^2+x^2=x^2\implies x=\pm1\implies y=\mp1$$Wir erhalten zwei Kandidaten für Extrema:$$\underline{\underline{P_1(-1\big|1)\quad;\quad P_2(1\big|-1)}}$$

2. Fall: $x=y$:$$1=x^2+xy+y^2=x^2+x^2+x^2=3x^2\implies x=\pm\frac{1}{\sqrt3}\implies y=\pm\frac{1}{\sqrt3}$$Wir erhalten zwei weitere Kandidaten für Extrema:$$\underline{\underline{P_3\left(-\frac{1}{\sqrt3}\bigg|-\frac{1}{\sqrt3}\right)\quad;\quad P_4\left(\frac{1}{\sqrt3}\bigg|\frac{1}{\sqrt3}\right)}}$$

Durch Einsetzen dieser Kandidaten in $d(x;y)$ findet man für $P_1$ und $P_2$ mit $\sqrt2$ die Maximalwerte und für $P_3$ und $P_4$ mit $\sqrt{2/3}$ die Minimalwerte.

Comments

Sorry, dass ich mich so reingretsche, aber ich wollte fragen, wie man auf

2y/2x = λ(x+2y)/λ(2x+y) kommt?

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Wir haben für jede Koordinate eine Gleichung:$$2x=\lambda(2x+y)\quad;\quad 2y=\lambda(x+2y)$$Wenn man die erste durch die zweite Gleichung dividiert, fällt $\lambda$ raus.

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Sorry, dass ich mich so reingretsche, aber ich wollte fragen, wie man auf

2y/2x = λ(x+2y)/λ(2x+y) kommt?

Vielen Dank für die schnelle Antwort!