Bestimmen Sie den eindeutigen Punkt auf der Ebene

Question

Bestimmen Sie den eindeutigen Punkt \( \vec{a}=\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \) auf der Ebene \( E=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x+y=z\right\} \subset \mathbb{R}^{3} \), der vom Punkt \( (1,0,0) \) den kleinsten quadrierten euklidischen Abstand hat. (D.h. die zu minimierende Funktion hat die Form \( \|\ldots\|^{2} \), wobei || || wie gewöhnlich die euklidische Norm ist.)

Der Lösungsweg ueber Lagrange-Multiplikatoren fuehrt dabei auf ein lineares Gleichungssystem mit vier Gleichungen in den vier Unbekannten \( x, y, z \) und \( \lambda \). Eine der vier Gleichungen ist durch die Nebenbedingung gegeben. Die restlichen drei Gleichungen lauten:

$$ \left(\begin{array}{c} 2(x-1) \\ w \cdot y \\ w \cdot z \end{array}\right)=\lambda\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ -1 \end{array}\right) $$
wobei \( w=\quad \) gilt.

Die eindeutige Lösung dieses Gleichungssystems ist gegeben durch \( \lambda=\frac{1}{3} \).

$$ \begin{array}{lll} x_{0}=\frac{1}{3}, & ..., & y_{0}=\frac{1}{3} \cdot & ... & \text { und } z_{0}=\frac{1}{3}, & ... \end{array} $$

Aufgabe:

Comments

Hallo

schreib doch mal den  für den Abstand die Lagrange Gleichung   auf und dazu die Nebenbedingung Ebene,

(statt des Abstandes kann man auch das Abstandsquadrar minimieren)

Gruß lul

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bedanke mich für deine Anwort aber ich habe schwierigkeiten um eine lagrange Gleichung zu erstellen könntest du bitte mal dazu helfen?

könntest du bitte mir sagen das die w=-12/21 x0=7/6 y0=-7/12 z=7/12 richtige antwort sind. Da bin ich sehr unsicher.

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Hallo

inzwischen hast du ja die antworten, sonst ist es besser, du schreibst nicht einfach Ergebnisse, sondern deine Rechnung und wir finden deine Fehler, dann lernst du mehr.

lul

Answer 1

Aloha :)

Das Quadrat des Abstand eines Punktes \((x;y;z)\) vom Punkt \((1;0;0)\) beträgt:

$$d(x;y;z)=\left\|\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\right\|^2=\left\|\begin{pmatrix}x-1\\y\\z\end{pmatrix}\right\|^2=(x-1)^2+y^2+z^2$$Diese Funktion soll minimiert werden, unter der Bedingung, dass der Punkt \((x;y;z)\) auf der Ebene liegt, das heißt unter der Nebenbedingung:$$g(x;y;z)=x+y-z\stackrel!=0$$

Nach Lagrange muss der Gradient der zu optimierenden Funktion proportional zum Gradient der Nebenbedingung sein:$$\operatorname{grad}d(x;y;z)=\lambda\operatorname{grad}g(x;y;z)\implies\begin{pmatrix}2(x-1)\\2y\\2z\end{pmatrix}=\lambda\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}$$Wir erkennen hier sofort:\(\quad\boxed{w=2}\)

Wir dividieren die Koordinatengleichungen, um \(\lambda\) loszuwerden:

$$\frac{2(x-1)}{2y}=\frac{\lambda\cdot1}{\lambda\cdot1}=1\implies 2(x-1)=2y\implies \underline{\underline{y=x-1}}$$$$\frac{2y}{2z}=\frac{\lambda\cdot1}{\lambda\cdot(-1)}=-1\implies\underline{\underline{z=-y}}$$Wir setzen diese gefundenen Forderungen in die Nebenbedingung ein:$$0=x+y-z=x+2y=x+2(x-1)=3x-2\implies 3x=2\implies x=\frac{2}{3}$$Damit sind auch \(y=x-1\) und \(z=-y\) bekannt. Der gesuchte Punkt ist also:$$\boxed{\left(x_0\,|\,y_0\,|\,z_0\right)=\left(\frac{1}{3}\cdot2\,\bigg|\,\frac{1}{3}\cdot(-1)\,\bigg|\,\frac{1}{3}\cdot1\right)}$$

Achja, den Lagrange-Mulltiplikator brauchen wir ja auch noch:$$\lambda=2y=-\frac{2}{3}\implies\boxed{\lambda=\frac{1}{3}\cdot(-2)}$$