Die folgende Reihe auf Konvergenz untersuchen

Question

Aufgabe:

Ich will folgende Reihe auf Konvergenz untersuchen:

\( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{2n^{\frac{2}{3}}-\sqrt{n}}} \)

Problem/Ansatz:

Ich hab es bereits mit dem Quotientenkriterium und dem Majorantenkriterium versucht, aber hab es nicht hinbekommen. Vielleicht kann mir jemand helfen. Danke

Answer 1

Aloha :)

Ein Bruch wird kleiner, wenn wir seinen Nenner vergrößern, daher können wir abschätzen:$$\frac{1}{2n^{\frac23}-\sqrt n}>\frac{1}{2n^{2/3}}\ge\frac{1}{2n}$$

Weil die harmonische Reihe dirvergiert, heißt das:$$\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{2n^{\frac23}-\sqrt n}>\frac{1}{2}\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n}\to\infty$$

Also divergiert die Reihe.