Zeigen Sie die Matrixgleichungen

Question

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Sei $(V,\langle\cdot, \cdot\rangle)$ ein metrischer Raum mit Basen $S=\left\{s_{1}, \ldots, s_{n}\right\}$ und $T=\left\{t_{1}, \ldots, t_{n}\right\}$. Weiter seien $A=\left(\left\langle s_{i}, s_{j}\right\rangle\right)_{i, j}$ und $B=\left(\left\langle t_{i}, t_{j}\right\rangle\right)_{i, j} \in K^{n \times n}$ gegeben.
(a) Zeigen Sie die Matrixgleichung $\left(x_{S}\right)^{\mathrm{tr}} \cdot A \cdot \overline{y_{S}}=\langle x, y\rangle$.
(b) Zeigen Sie $B=C_{S, T}^{\operatorname{tr}} A \overline{C_{S, T}}$.
(c) Eine Matrix $M \in \mathbb{C}^{n \times n}$ heißt Hermitesch, wenn $M=\bar{M}^{\text {tr }}$ gilt.
Sei $S=\left\{s_{1}, \ldots, s_{n}\right\}$ eine fest gewählte Basis. Sie dürfen ohne Beweis benutzen, dass
$$\langle x, y\rangle_{A}:=\left(x_{S}\right)^{\mathrm{tr}} \cdot A \cdot \overline{y_{S}} \quad \forall x, y \in V$$
eine Hermitesche Form auf $V$ definiert.
Zeigen Sie, dass die Zuordnungen
$$\langle\cdot, \cdot\rangle \mapsto\left(\left\langle s_{i}, s_{j}\right\rangle\right)_{i, j} \quad \text { und } \quad A \mapsto\langle\cdot, \cdot\rangle_{A}$$
zwischen Hermiteschen Formen und Hermiteschen Matrizen bijektiv und zueinander invers sind.

Comments

Hallo,

er Einstieg zu a) ist, dass Du den Zusammenhang zwischen $x \in V$ und dem Vektor $x_S$ notierst (analog für y) und damit das Skalarprodukt $\langle x,y\rangle$ nach den Regeln für das Skalarprodukt umformst.

Gruß Mathhilf.

PS: Die Einleitung "metrischer Raum" dürfte wohl ein Druckfehler sein. Es sollte wohl linearer Raum mit Skalarprodukt heißen.