Eliminationsverfahren mit matrixgleichungen

Question

Aufgabe:

3x1                +x3= 70

3x1 + 2x2      + 3x3=100

5x1 + 5x2      +   x3 = 135

Man soll dieses lineare gleichungssystem durch das eliminationsverfahren lösen. Und zwar in Stufenform.

Die Lösung sei x=(20/5/10)

Problem/Ansatz:

Was bedeutet stufenform und wie genau funktioniert das ? Ich tue mir hier noch schwer.

Vielen Dank für jede Hilfe !

Lg.

Answer 1

3x1                +x3= 70

3x1 + 2x2      + 3x3=100

5x1 + 5x2      +   x3 = 135

Eliminationsverfahren geht so: Eine Gleichung nach einer Variablen

auflösen und bei den Anderen einsetzen

                    x3= 70-3x1

3x1 + 2x2      + 3(70-3x1)=100

5x1 + 5x2      +   70-3x1 = 135

vereinfachen

                    +x3= 70-3x1

                2x2      -6x1=-110

                  2x1 + 5x2    = 65

jetzt eine andere z.B. die zweite nach x2 auflösen und das bei der

dritten einsetzen

        +x3= 70-3x1

           x2    =3x1-55

       2x1 + 5(3x1-55       )    = 65

vereinfachen gibt

        +x3= 70-3x1

               x2    =3x1-55

      17x1    = 340   ==>     x1=20

und das bei den anderen einsetzen gibt x2=5     x3=10

Comments

Hallo

Danke für ihre Antwort !

Wie kommen sie ganz zum Schluss auf die Zahl 17 und 340?

17x1 =340      x1= 20

Vielen Dank! Lg

---

             2x1 + 5(3x1-55       )    = 65

<=>    2x1 + 15x1  -  275    = 65

<=>               17x1  -  275    = 65     | + 275

<=>                     17x1      = 340    

Answer 2

Aloha :)

Wenn du das Gleichungssystem auf Stufenform bringst, bist du eigentlich fertig:

$$\begin{array}{l} & x_1 & x_2 & x_3 && &\\I: & 3 & 0 & 1 &=& 70&\\II: & 3 & 2 & 3 &=& 100&|\;-I\\III: & 5 & 5 & 1 &=& 135&|\;-\frac{5}{3}\cdot I\end{array}$$$$\begin{array}{l} & x_1 & x_2 & x_3 && &\\I: & 3 & 0 & 1 &=& 70&\\II: & 3-3 & 2-0 & 3-1 &=& 100-70&\\III: & 5-\frac{5}{3}\cdot3  & 5-\frac{5}{3}\cdot0 & 1-\frac{5}{3}\cdot1 &=& 135-\frac{5}{3}\cdot70&\end{array}$$$$\begin{array}{l} & x_1 & x_2 & x_3 && &\\I: & 3 & 0 & 1 &=& 70&\\II: & 0 & 2 & 2 &=& 30&\\III: & 0 & 5 & -\frac{2}{3} &=& \frac{55}{3}&|\;-\frac{5}{2}\cdot II\end{array}$$$$\begin{array}{l} & x_1 & x_2 & x_3 && &\\I: & 3 & 0 & 1 &=& 70&\\II: & 0 & 2 & 2 &=& 30&\\III: & 0 & 5-\frac{5}{2}\cdot2 & -\frac{2}{3}-\frac{5}{2}\cdot2 &=& \frac{55}{3}-\frac{5}{2}\cdot30&\end{array}$$$$\begin{array}{r} & x_1 & x_2 & x_3 && &\\I: & 3 & 0 & 1 &=& 70&\\II: & 0 & 2 & 2 &=& 30&\\III: & 0 & 0 & -\frac{17}{3} &=& -\frac{170}{3}&|\;:(-\frac{17}{3})\end{array}$$$$\begin{array}{l} & x_1 & x_2 & x_3 && &\\I: & 3 & 0 & 1 &=& 70&|\;-III\\II: & 0 & 2 & 2 &=& 30&|\;-2\cdot III\\III: & 0 & 0 & 1 &=& 10&\end{array}$$$$\begin{array}{l} & x_1 & x_2 & x_3 && &\\I: & 3 & 0 & 1-1 &=& 70-10&\\II: & 0 & 2 & 2-2\cdot1 &=& 30-2\cdot10&\\III: & 0 & 0 & 1 &=& 10&\end{array}$$$$\begin{array}{l} & x_1 & x_2 & x_3 && &\\I: & 3 & 0 & 0 &=& 60&|\;:3\\II: & 0 & 2 & 0 &=& 10&|\;:2\\III: & 0 & 0 & 1 &=& 10&\end{array}$$$$\begin{array}{l} & x_1 & x_2 & x_3 && &\\I: & 1 & 0 & 0 &=& 20&\\II: & 0 & 1 & 0 &=& 5&\\III: & 0 & 0 & 1 &=& 10&\end{array}$$