Wie lautet die Transformationsmatrix S, die A auf Diagonalform transformiert?

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Matrix A:

A=

60	190
-18	-57

Wie lautet die Transformationsmatrix S, die A auf Diagonalform transformiert?

S=?

Was muss ich nun machen? Ich komme nicht auf die richtige Matrix.

Answer 1

Aloha :)

Wenn du die Eigenvektoren der Matrix $A$ als Spalten in eine Matrix $S$ schreibst, hat$$S_{\text{diag}}=S^{-1}\cdot A\cdot S$$Diagonalgestalt und auf der Diagonalen stehen die zugehörigen Eigenwerte in der Reihenfolge wie du die Eigenvektoren in die Matrix $S$ geschrieben hast.

1) Bestimmung der Eigenwerte der Matrix $A$:

$$\left|\begin{array}{rr}60-\lambda & 190\\-18 & -57-\lambda\end{array}\right|=(60-\lambda)(-57-\lambda)+18\cdot190=\lambda^2-3\lambda=\lambda(\lambda-3)$$Wir haben also 2 verschiedene Eigenwerte:$$\lambda=0\quad;\quad\lambda=3$$

2) Bestimmung der Eigenvektoren der Matrix $A$:

$$\binom{0}{0}\stackrel!=\left(\begin{array}{rr}60-0 & 190\\-18 & -57-0\end{array}\right)\binom{x_1}{x_2}=\left(\begin{array}{rr}60 & 190\\-18 & -57\end{array}\right)\binom{x_1}{x_2}\implies\binom{x_1}{x_2}=\binom{-19}{6}$$$$\binom{0}{0}\stackrel!=\left(\begin{array}{rr}60-3 & 190\\-18 & -57-3\end{array}\right)\binom{x_1}{x_2}=\left(\begin{array}{rr}57 & 190\\-18 & -60\end{array}\right)\binom{x_1}{x_2}\implies\binom{x_1}{x_2}=\binom{-10}{3}$$

3) Zusammenstellung der Matrix $S$:$$S=\left(\begin{array}{rr}-19 & -10\\6 & 3\end{array}\right)$$

Wir machen noch sicherheitshalbe die Probe:$$\left(\begin{array}{rr}-19 & -10\\6 & 3\end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{rr}60 & 190\\-18 & -57\end{array}\right)\left(\begin{array}{rr}-19 & -10\\6 & 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}0 & 0\\0 & 3\end{array}\right)\quad\checkmark$$