e-Funktion mit zwei Veränderlichen nach x ableiten

Question

Ich habe folgende Funktion

\( f(x,y) = x*\exp(-x^2-y^2) \)

welche ich gerne nach x ableiten würde.

Zuerst nutze ich die Produktregel um folgendes Ergebnis zu erhalten:

\(f_{x}(x,y) = \frac{exp(-x^2-y^2) + x * -2x * exp(-x^2-y^2)}{(exp(-x^2-y^2))^2} \)

Dann verbinde berechne ich x * -2x

\(f_{x}(x,y) = \frac{exp(-x^2-y^2) -2x^2 * exp(-x^2-y^2)}{(exp(-x^2-y^2))^2} \)

Und zum Schluss kürze ich ich noch einmal die e-Funktion (exp(-x^2-y^2)) heraus. Das Ergebnis wäre dann:

\(f_{x}(x,y) = \frac{1 -2x^2}{exp(-x^2-y^2)} \)

Allerdings bin ich mir unsicher ob das Ergebnis korrekt ist. Könnte eventuell jemand von euch einmal drüber schauen und mir sagen ob es soweit stimmt oder nicht? Dankeschön!

Comments

Wo kommt der Nenner her? Der muss weg!

Du vermischt das mit der Quotientenregel.

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Du hast hier keinen Quotienten von zwei Funktionen, sondern ein Produkt von zwei Funktionen. Daher schlage ich vor, statt der Quotienten-Regel, die Produkt-Regel zu verwenden ;)

$$\partial_x f(x;y)=\left(\underbrace{x}_{=u(x)}\cdot\underbrace{e^{-x^2-y^2}}_{=v(x)}\right)'=\underbrace{1}_{=u'(x)}\cdot\underbrace{e^{-x^2-y^2}}_{=v(x)}+\underbrace{x}_{=u(x)}\cdot\underbrace{\overbrace{e^{-x^2-y^2}}^{=\text{äußere Abl.}}\cdot\overbrace{(-2x)}^{=\text{innere Abl.}}}_{=v'(x)}$$$$\phantom{\partial_x f(x;y)}=e^{-x^2-y^2}\left(1-2x^2\right)$$