Stetigkeit zeigen bei Funktion mit 2 Veränderlichen: f(x,y):= ∑ cos(kx)*e^{-kxy}.

Question

Sei \( f:(0, \infty) \times(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R} \)

\( f(x, y):=\sum \limits_{k=0}^{\infty} \cos (k x) \cdot \mathrm{e}^{-k x y} . \)

(a) Zeigen Sie, dass \( f \) stetig ist.

Als Hinweis haben wir gegeben, dass wir die Gleichmäßigkeit zeigen sollen. Wie macht man das in dem Beispiel konkret? Bzw. die komplette Lösung?

Answer 1

Erstmal, stetig bedeutet das du keine Definitionslücke hast, also ohne Absetzten des Stiftes die Linie ziehen kannst.

Der Cosinus, egal welche Zahl du einsetzt bewegt sich immer zwischen -1 und 1.
Oben steht ja, das nur zahlen aus dem IR+ in der Definition enthalten sind, das bedeutet das im Exponenten der e-funktion immer ein Minus stehen bleibt, und daher, wird das e irgendwann zu 0. D.h die Cosinuskurve flacht zwar immer weiter ab, erreicht sogar 0, aber das bis ins unendliche.