Wie löse ich das Integral`?

Question

Aufgabe:

Wie löse ich das Integral`?

V = $\int\limits_{1}^{e}$$\int\limits_{ln x}^{1}$ y dy dx

Das Problem ist das innere Integral ist dy obwohl wir dx grenzen haben

Comments

Warum zettelst Du diese Frage neu an

https://www.mathelounge.de/853935/wie-lauteten-nun-die-neuen-grenzen

Warum erwähnst Du nicht die Abweichung in der Aufgabenstellung?

Answer 1

$\int\limits_{\ln x}^1 y\,\mathrm{d}y = \left[\frac{1}{2}y^2\right]_{\ln x}^1=\frac{1}{2}\cdot 1^2 - \frac{1}{2}\cdot\ln^2 x = \frac{1}{2}(1-\ln^2 x)$

Comments

danke, aber die Lösung sagt mir das ich folgendes habe:

$\int\limits_{1}^{e}$ $\int\limits_{lnx}^{1}$ y dy dx:

Neue Grenen für y:

y = ln(1) = 0

y = ln(e) = 1

Neues Integral:

 $\int\limits_{0}^{1}$ $\int\limits_{1}^{e^y}$ y dx dy

ich verstehe überhaupt nicht wie die auf die neuen Integrationsgrenzen gekommen sind. Die Haben die Integrationsreihenfolge vertauscht, aber wie kommt man auf diese Integrationsgrenzen? Woher kommt die 1 und e^y? (inneres Integral)

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Die Haben die Integrationsreihenfolge vertauscht

Braucht man nicht. Laut meiner obigen Rechnung ist

$\int\limits_1^\mathrm{e}\int\limits_{\ln x}^1 y\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x = \int\limits_1^\mathrm{e}\frac{1}{2}(1-\ln x)\,\mathrm{d}x$

und das ist ein einfaches integral wie amn es auch aus der Schule kennt.

wie kommt man auf diese Integrationsgrenzen?

Zeichne die Funktionen $y=\ln x$ und $y = 1$.

Zeichne die Geraden $x=1$ und $x = e$.

Das Integrationsgebiet wird durch diese vier Linien beschränkt.

V = $\int\limits_{1}^{e}$$\int\limits_{ln x}^{1}$ y dy dx

Im äußeren Integral gehst von $x=1$ nach $x = \mathrm{e}$. Die Integrationsgrenzen des inneren Integrals bestimmen sich dadurch, welche y-Koordinaten für einen vorgegebenen x-Wert im Integrationsgebiet liegen. Das sind die y-Koordinaten von $\ln x$ bis 1.

$\int\limits_{0}^{1}$ $\int\limits_{1}^{e^y}$ y dx dy

Beim Vertauschen der Integrationsreihenfolge gehst du im äußeren Integral nicht mehr in x-Richtung, sondern in y-Richtung. Kleinste y-Koordinate ist 0, größte ist 1, wie du deiner Zeichnung entnehmen kannst. Das sind die neuen Integrationsgrenzen des äußeren Integrals.

Die Integrationsgrenzen des inneren Integrals bestimmen sich dadurch, welche x-Koordinaten für einen vorgegebenen y-Wert im Integrationsgebiet liegen. Die linke Integrationsgrenze ist 1. Die rechte Integrationsgrenze ist der x-Wert, für den $y = \ln x$ ist. Lösen dieser Gleichung ergibt $x = \mathrm{e}^y$.

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Müsste es nicht [ln(x)]² sein - in der ersten Antwort?

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Ja, stimmt natürlich.

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vielen Dank, wie kommst du nochmal auf die linke integrationsgrenze das die 1 ist?

Die linke Integrationsgrenze ist 1. Die rechte Integrationsgrenze ist der x-Wert, für den $y = \ln x$ ist. Lösen dieser Gleichung ergibt $x = \mathrm{e}^y$.

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Die habe ich aus der Zeichnung des integrationsgebietes abgelesen.

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und rechnerisch