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Aufgabe:

Wie löse ich das Integral`?

V = \( \int\limits_{1}^{e} \)\( \int\limits_{ln x}^{1} \) y dy dx

Das Problem ist das innere Integral ist dy obwohl wir dx grenzen haben

von

Warum zettelst Du diese Frage neu an

https://www.mathelounge.de/853935/wie-lauteten-nun-die-neuen-grenzen

Warum erwähnst Du nicht die Abweichung in der Aufgabenstellung?

1 Antwort

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\(\int\limits_{\ln x}^1 y\,\mathrm{d}y = \left[\frac{1}{2}y^2\right]_{\ln x}^1=\frac{1}{2}\cdot 1^2 - \frac{1}{2}\cdot\ln^2 x = \frac{1}{2}(1-\ln^2 x)\)

von 76 k 🚀

danke, aber die Lösung sagt mir das ich folgendes habe:

\( \int\limits_{1}^{e} \) \( \int\limits_{lnx}^{1} \) y dy dx:


Neue Grenen für y:

y = ln(1) = 0

y = ln(e) = 1

Neues Integral:

 \( \int\limits_{0}^{1} \) \( \int\limits_{1}^{e^y} \) y dx dy


ich verstehe überhaupt nicht wie die auf die neuen Integrationsgrenzen gekommen sind. Die Haben die Integrationsreihenfolge vertauscht, aber wie kommt man auf diese Integrationsgrenzen? Woher kommt die 1 und e^y? (inneres Integral)

Die Haben die Integrationsreihenfolge vertauscht

Braucht man nicht. Laut meiner obigen Rechnung ist

\(\int\limits_1^\mathrm{e}\int\limits_{\ln x}^1 y\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x = \int\limits_1^\mathrm{e}\frac{1}{2}(1-\ln x)\,\mathrm{d}x\)

und das ist ein einfaches integral wie amn es auch aus der Schule kennt.

wie kommt man auf diese Integrationsgrenzen?

Zeichne die Funktionen \(y=\ln x\) und \(y = 1\).

Zeichne die Geraden \(x=1\) und \(x = e\).

Das Integrationsgebiet wird durch diese vier Linien beschränkt.

V = \( \int\limits_{1}^{e} \)\( \int\limits_{ln x}^{1} \) y dy dx

Im äußeren Integral gehst von \(x=1\) nach \(x = \mathrm{e}\). Die Integrationsgrenzen des inneren Integrals bestimmen sich dadurch, welche y-Koordinaten für einen vorgegebenen x-Wert im Integrationsgebiet liegen. Das sind die y-Koordinaten von \(\ln x\) bis 1.

\( \int\limits_{0}^{1} \) \( \int\limits_{1}^{e^y} \) y dx dy

Beim Vertauschen der Integrationsreihenfolge gehst du im äußeren Integral nicht mehr in x-Richtung, sondern in y-Richtung. Kleinste y-Koordinate ist 0, größte ist 1, wie du deiner Zeichnung entnehmen kannst. Das sind die neuen Integrationsgrenzen des äußeren Integrals.

Die Integrationsgrenzen des inneren Integrals bestimmen sich dadurch, welche x-Koordinaten für einen vorgegebenen y-Wert im Integrationsgebiet liegen. Die linke Integrationsgrenze ist 1. Die rechte Integrationsgrenze ist der x-Wert, für den \(y = \ln x\) ist. Lösen dieser Gleichung ergibt \(x = \mathrm{e}^y\).

Müsste es nicht [ln(x)]^2 sein - in der ersten Antwort?

Ja, stimmt natürlich.

vielen Dank, wie kommst du nochmal auf die linke integrationsgrenze das die 1 ist?

Die linke Integrationsgrenze ist 1. Die rechte Integrationsgrenze ist der x-Wert, für den \(y = \ln x\) ist. Lösen dieser Gleichung ergibt \(x = \mathrm{e}^y\).

Die habe ich aus der Zeichnung des integrationsgebietes abgelesen.

und rechnerisch

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