Aloha :)
Wir stellen die Bedingung für die Mitgliedschaft eines Punktes in der Menge nach \(x\) um:$$x=(a^2-2a+1)-(a^2-1)y+az=(a-1)^2-(a^2-1)y+az$$
und können so alle zugehörigen Punkte wir folgt schreiben:$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}(a-1)^2-(a^2-1)y+az\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}(a-1)^2\\0\\0\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}-(a^2-1)\\1\\0\end{pmatrix}+z\begin{pmatrix}a\\0\\1\end{pmatrix}$$
Der Nullvektor muss in jedem UVR vorhanden sein. Um den Nullvektor zu formen, muss wegen der 2-ten Komponente \(y=0\) sein und wegen der 3-ten Komponente \(z=0\). Damit dann auch die 1-te Komponente Null ist, muss \(a=1\) gelten.
Nur für \(a=1\) beschreibt die Menge also einen UVR:$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=y\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+z\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$$Seine Dimension ist \(2\) und eine Basis haben wir direkt mit bestimmt.
