Aloha :)
Die Geschwindigkeit \(c'(t)\) der Diffusion ist proportional zu \(c_s-c(t)\) mit \(c_s=57\,\mathrm{mMol}/\ell\). Die Zeit wir ab Null gemessen, also \(t\ge0\), und die Konzentration zu Beginn sei \(c(0)=10\,\mathrm{mMol}/\ell\).
zu a) Differentialgleichung aufstellen:$$c'(t)=k\cdot(c_s-c(t))\quad;\quad c(0)=10\,\mathrm{mMol}/\ell\quad;\quad c_s=57\,\mathrm{mMol}/\ell\quad;\quad t\ge0$$
zu b) Differentialgleichung lösen:
Wenn wir die Differentialgleichung ausmultiplizieren$$c'(t)=k\cdot c_s-k\cdot c(t)$$stoßen wir auf einen "Störterm" \(k\cdot c_s\), der unsere Differentialgleichung inhomogen macht. Wir lassen diesen zuerst weg und lösen die homogene Differentialgleichung. Deren Lösung \(c_h(t)\) kennzeichnen wir durch den Index \(h\).$$\left.c'_h(t)=-k\cdot c_h(t)\quad\right|c'_h(t)=\frac{dc_h}{dt}$$$$\left.\frac{dc_h}{dt}=-k\cdot c_h\quad\right|\colon c_h\;\big|\;\cdot dt$$$$\left.\frac{1}{c_h}\,dc_h=-k\cdot dt\quad\right|\text{beide Seiten unabhängig voneinander integrieren}$$$$\left.\ln|c_h|+a_c=-k\cdot t+a_t\quad\right|\text{Integrationskonstanten \(a_c\) und \(a_t\) auf eine Seite bringen}$$$$\left.\ln|c_h|=-k\cdot t+\left(a_t-a_c\right)\quad\right|e^{\cdots}$$$$\left.|c_h|=e^{-k\cdot t+\left(a_t-a_c\right)}=e^{-k\cdot t}\cdot e^{\left(a_t-a_c\right)}\quad\right.$$Da \(a_t\) und \(a_c\) frei wählbare Ingegrationskonstanten sind, ist auch \(a\coloneqq e^{a_t-a_c}>0\) eine frei wählbare Konstante, die jedoch wegen der \(e\)-Funktion stets positiv ist. Wir können daher die Betragsstriche um die homogene Lösung weglassen und mit der positiven Konstante \(a\) formulieren:$$c_h(t)=a\cdot e^{-k\cdot t}$$
Wir sind noch nicht ganz fertig, schließlich wollen wir die inhomogene Differentialgleichung lösen. Eine gängige Methode dazu lautet "Variation der Konstanten". Dabei nimmt man an, die Integrationskonstante \(a\) aus der homogenen Lösung sein von \(t\) abhängig, also \(a=a(t)\). Unser Ansatz für die inhomogene Lösung ist also:$$c(t)=a(t)\cdot e^{-k\cdot t}$$
Diesen Ansatz setzen wir in die inhomogene Differentialgleichung ein:$$\left.c'(t)=k\cdot c_s-k\cdot c(t)\quad\right|c(t)=a(t)\cdot e^{-k\cdot t}\text{ einsetzen}$$$$\left.\left(a(t)\cdot e^{-k\cdot t}\right)'=k\cdot c_s-k\cdot a(t)\cdot e^{-k\cdot t}\quad\right|\text{Ableiten mit der Produktregel}$$$$\left.a'(t)\cdot e^{-k\cdot t}-k\cdot a(t)\cdot e^{-k\cdot t}=k\cdot c_s-k\cdot a(t)\cdot e^{-k\cdot t}\quad\right|+k\cdot a(t)\cdot e^{-k\cdot t}$$$$\left.a'(t)\cdot e^{-k\cdot t}=k\cdot c_s\quad\right|\cdot e^{-k\cdot t}$$$$\left.a'(t)=k\cdot c_s\cdot e^{k\cdot t}\quad\right|\text{integrieren}$$$$\left.a(t)=c_s\cdot e^{k\cdot t}+a_0\quad\right|\text{Integrationskonstante \(a_0\)}$$
Dieses \(a(t)\) setzen wir nun in den Ansatz von oben ein und erhalten so die gesuchte Lösung:$$c(t)=a(t)\cdot e^{-k\cdot t}=\left(c_s\cdot e^{k\cdot t}+a_0\right)\cdot e^{-k\cdot t}=c_s\cdot e^{k\cdot t}\cdot e^{-k\cdot t}+a_0\cdot e^{-k\cdot t}\implies$$$$\underline{\underline{c(t)=c_s+a_0\cdot e^{-k\cdot t}}}\quad;\quad a_0=\text{const}$$
Die Konstante \(a_0\) folgt aus der Anfangsbedingung \(c(0)=10\,\mathrm{mMol}/\ell\):$$10=c(0)=c_s+a_0=57+a_0\implies a_0=-47$$Daher ist:$$\boxed{c(t)=57-47\cdot e^{-k\cdot t}}\quad;\quad t\ge0$$
zu c) Für \(c(5)=30\,\mathrm{mMol}/\ell\) soll \(k\) bestimmt werden.$$30=c(5)=57-47\cdot e^{-5\cdot k}\implies-27=-47\cdot e^{-5\cdot k}\implies\frac{27}{47}=e^{-5\cdot k}\implies$$$$\ln\left(\frac{27}{47}\right)=-5\cdot k\implies k=-\frac{1}{5}\cdot\ln\left(\frac{27}{47}\right)\approx0,110862\quad\implies$$$$\boxed{c(t)=57-47\cdot e^{-0,110862\cdot t}}\quad;\quad t\ge0$$
zu d) Wann ist \(c(t)=48\,\mathrm{mMol}/\ell\) erreicht?
$$48\stackrel!=c(t)=57-47\cdot e^{-0,110862\cdot t}\implies-9=-47\cdot e^{-0,110862\cdot t}\implies\frac{9}{47}=e^{-0,110862\cdot t}$$$$\implies\ln\left(\frac{9}{47}\right)=-0,110862\cdot t\implies t=-\frac{1}{0,110862}\ln\left(\frac{9}{47}\right)\approx\boxed{14,91}$$
