DGL -Trennung der Variablen

Question

Aufgabe: DGL Einführung - Trennung der Variablen

 $c(t)$ die Konzentration der Substanz im Inneren der Zelle zum Zeitpunkt $t \geq 0$, und die Sättigungskonstante sei $c_{s}=57 \mathrm{mMol} / 1$. Anfänglich sei $c(0)=10$ $\mathrm{mMol} / 1$, und die Geschwindigkeit der Diffusion sei proportional zu $\left(c_{s}-c\right) .$
a) Stellen Sie eine Differentialgleichung für $c=c(t)$ auf und geben Sie den Anfangswert an.
b) Lösen Sie das Anfangswertproblem.
c) Angenommen es gilt $c(5)=30 \mathrm{mMol} /$ l. Bestimmen Sie den Wert des Parameters $k$.
d) Wann hat für c) die Konzentration der Substanz im Inneren der Zelle $48 \mathrm{mMol} / 1$ erreicht?

Answer 1

Aloha :)

Die Geschwindigkeit $c'(t)$ der Diffusion ist proportional zu $c_s-c(t)$ mit $c_s=57\,\mathrm{mMol}/\ell$. Die Zeit wir ab Null gemessen, also $t\ge0$, und die Konzentration zu Beginn sei $c(0)=10\,\mathrm{mMol}/\ell$.

zu a) Differentialgleichung aufstellen:$$c'(t)=k\cdot(c_s-c(t))\quad;\quad c(0)=10\,\mathrm{mMol}/\ell\quad;\quad c_s=57\,\mathrm{mMol}/\ell\quad;\quad t\ge0$$

zu b) Differentialgleichung lösen:

Wenn wir die Differentialgleichung ausmultiplizieren$$c'(t)=k\cdot c_s-k\cdot c(t)$$stoßen wir auf einen "Störterm" $k\cdot c_s$, der unsere Differentialgleichung inhomogen macht. Wir lassen diesen zuerst weg und lösen die homogene Differentialgleichung. Deren Lösung $c_h(t)$ kennzeichnen wir durch den Index $h$.$$\left.c'_h(t)=-k\cdot c_h(t)\quad\right|c'_h(t)=\frac{dc_h}{dt}$$$$\left.\frac{dc_h}{dt}=-k\cdot c_h\quad\right|\colon c_h\;\big|\;\cdot dt$$$$\left.\frac{1}{c_h}\,dc_h=-k\cdot dt\quad\right|\text{beide Seiten unabhängig voneinander integrieren}$$$$\left.\ln|c_h|+a_c=-k\cdot t+a_t\quad\right|\text{Integrationskonstanten \(a_c\) und \(a_t\) auf eine Seite bringen}$$$$\left.\ln|c_h|=-k\cdot t+\left(a_t-a_c\right)\quad\right|e^{\cdots}$$$$\left.|c_h|=e^{-k\cdot t+\left(a_t-a_c\right)}=e^{-k\cdot t}\cdot e^{\left(a_t-a_c\right)}\quad\right.$$Da $a_t$ und $a_c$ frei wählbare Ingegrationskonstanten sind, ist auch $a\coloneqq e^{a_t-a_c}>0$ eine frei wählbare Konstante, die jedoch wegen der $e$-Funktion stets positiv ist. Wir können daher die Betragsstriche um die homogene Lösung weglassen und mit der positiven Konstante $a$ formulieren:$$c_h(t)=a\cdot e^{-k\cdot t}$$

Wir sind noch nicht ganz fertig, schließlich wollen wir die inhomogene Differentialgleichung lösen. Eine gängige Methode dazu lautet "Variation der Konstanten". Dabei nimmt man an, die Integrationskonstante $a$ aus der homogenen Lösung sein von $t$ abhängig, also $a=a(t)$. Unser Ansatz für die inhomogene Lösung ist also:$$c(t)=a(t)\cdot e^{-k\cdot t}$$

Diesen Ansatz setzen wir in die inhomogene Differentialgleichung ein:$$\left.c'(t)=k\cdot c_s-k\cdot c(t)\quad\right|c(t)=a(t)\cdot e^{-k\cdot t}\text{ einsetzen}$$$$\left.\left(a(t)\cdot e^{-k\cdot t}\right)'=k\cdot c_s-k\cdot a(t)\cdot e^{-k\cdot t}\quad\right|\text{Ableiten mit der Produktregel}$$$$\left.a'(t)\cdot e^{-k\cdot t}-k\cdot a(t)\cdot e^{-k\cdot t}=k\cdot c_s-k\cdot a(t)\cdot e^{-k\cdot t}\quad\right|+k\cdot a(t)\cdot e^{-k\cdot t}$$$$\left.a'(t)\cdot e^{-k\cdot t}=k\cdot c_s\quad\right|\cdot e^{-k\cdot t}$$$$\left.a'(t)=k\cdot c_s\cdot e^{k\cdot t}\quad\right|\text{integrieren}$$$$\left.a(t)=c_s\cdot e^{k\cdot t}+a_0\quad\right|\text{Integrationskonstante \(a_0\)}$$

Dieses $a(t)$ setzen wir nun in den Ansatz von oben ein und erhalten so die gesuchte Lösung:$$c(t)=a(t)\cdot e^{-k\cdot t}=\left(c_s\cdot e^{k\cdot t}+a_0\right)\cdot e^{-k\cdot t}=c_s\cdot e^{k\cdot t}\cdot e^{-k\cdot t}+a_0\cdot e^{-k\cdot t}\implies$$$$\underline{\underline{c(t)=c_s+a_0\cdot e^{-k\cdot t}}}\quad;\quad a_0=\text{const}$$

Die Konstante $a_0$ folgt aus der Anfangsbedingung $c(0)=10\,\mathrm{mMol}/\ell$:$$10=c(0)=c_s+a_0=57+a_0\implies a_0=-47$$Daher ist:$$\boxed{c(t)=57-47\cdot e^{-k\cdot t}}\quad;\quad t\ge0$$

zu c) Für $c(5)=30\,\mathrm{mMol}/\ell$ soll $k$ bestimmt werden.$$30=c(5)=57-47\cdot e^{-5\cdot k}\implies-27=-47\cdot e^{-5\cdot k}\implies\frac{27}{47}=e^{-5\cdot k}\implies$$$$\ln\left(\frac{27}{47}\right)=-5\cdot k\implies k=-\frac{1}{5}\cdot\ln\left(\frac{27}{47}\right)\approx0,110862\quad\implies$$$$\boxed{c(t)=57-47\cdot e^{-0,110862\cdot t}}\quad;\quad t\ge0$$

zu d) Wann ist $c(t)=48\,\mathrm{mMol}/\ell$ erreicht?

$$48\stackrel!=c(t)=57-47\cdot e^{-0,110862\cdot t}\implies-9=-47\cdot e^{-0,110862\cdot t}\implies\frac{9}{47}=e^{-0,110862\cdot t}$$$$\implies\ln\left(\frac{9}{47}\right)=-0,110862\cdot t\implies t=-\frac{1}{0,110862}\ln\left(\frac{9}{47}\right)\approx\boxed{14,91}$$

Comments

Danke Danke ganz klar !
Der König der Mathematik ❤️

Liebe Grüße

Martin