Berechnen Sie den Grenzwert a = lim an für n gegen ∞.

Question

Aufgabe:

Die Folge a_n ist definiert durch a₁ = 1 und a_n+1 = √(1+a_n )

Berechnen Sie den Grenzwert a = lim a_n für n gegen ∞. Sie dürfen annehmen, dass die Folge konvergiert.

Problem/Ansatz:

Ich weiß wie sich die Folgenglieder entwickeln, ich weiß jedoch nicht so ganz wie ich hier den Grenzwert berechnen soll

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Rekursive Definition einer Folge mit Wurzel. Berechnen Sie den Grenzwert a = limn→∞ an.

Stichworte: grenzwert,rekursiv

Aufgabe:

Die Folge (an) sei definiert durch durch a1 = 1 und
an+1 =√(1 + an)
Berechnen Sie den Grenzwert a = limn→∞ an. Sie dürfen annehmen, dass die
Folge (an) konvergiert.
(b) Können Sie die Zahl a in dem Bild
wiederfinden?

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Sagt dir die Rekursionsformel etwas?

Answer 1

Aloha :)

Da wir annehmen dürfen, dass die Folge konvergiert, können wir ihren Grenzwert$$a\coloneqq\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}$$wie folgt bestimmen:$$\left.a_{n+1}=\sqrt{1+a_n}\quad\right|(\cdots)^2$$$$\left.a^2_{n+1}=1+a_n\quad\right|\lim\limits_{n\to\infty}(\cdots)$$$$\left.\lim\limits_{n\to\infty}\left(a^2_{n+1}\right)=\lim\limits_{n\to\infty}(1+a_n)\quad\right|\text{Grenzwertsätze}$$$$\left.\lim\limits_{n\to\infty}\left(a_{n+1}\right)\lim\limits_{n\to\infty}\left(a_{n+1}\right)=1+\lim\limits_{n\to\infty}a_n\quad\right|\text{Grenzwert \(a\) einsetzen}$$$$\left.a^2=1+a\quad\right|-a\big|+\frac{1}{4}$$$$\left.a^2-a+\frac{1}{4}=1+\frac{1}{4}\quad\right|\text{2-te binomische Formel links}$$$$\left.\left(a-\frac{1}{2}\right)^2=\frac{5}{4}\quad\right|\sqrt{\cdots}$$$$\left.a-\frac{1}{2}=\pm\frac{\sqrt5}{2}\quad\right|+\frac{1}{2}$$$$a=\frac{1\pm\sqrt5}{2}$$Da wegen der Wurzel in der Definition alle $a_n$ positiv sind, muss auch der Grenzwert postitiv sein, sodass die negative Lösung entfällt:$$a=\frac{1+\sqrt5}{2}$$