Zeige, dass für den Grenzwert a = lim (n — ∞) an Die Ungleichung a ≥ 0 gilt.

Question

Aufgabe

Gegeben sei eine konvergente Folge (a_n) mit a_n ∈ R, a_n ≥ 0.

Zeige, dass für den Grenzwert a = lim (n —> ∞) a_n Die Ungleichung a ≥ 0 gilt.

Problem/Ansatz:

Wie beweist man das? Wenn a< 0 müsste es zu einem Widerspruch zur Voraussetzung führen.

Answer 1

Wenn a< 0 müsste es zu einem Widerspruch zur Voraussetzung führen.

In der Tat: Angenommen a < 0 Dann ist |a| / 2 ein positives Epsilon.

Und es gibt ein N , so dass in der Umgebung von a mit Radius ε

für alle n > N sämtliche Folgenglieder a_n liegen. In dieser

Umgebung liegen aber nur negative Zahlen.

(Nämlich von 1,5a bis 0,5a. ) Widerspruch,

da alle a_n≥0.

Comments

wie würde man sowas formal aufschreiben?

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Angenommen a < 0.

Setze   ε =  |a| / 2  > 0 . Nach der Grenzwertdef.

gibt es ein N , so dass für alle n∈ℕ gilt  :

n>N ==>   | a_n - a | <  ε =  |a| / 2

==>   | an - a | < |a| / 2

==>  a- |a| / 2 < a_n < a+ |a| / 2

und weil |a/2| = -a/2 (wegen a <0 )

==>   1,5a  < an < 0,5a < 0

Widerspruch, da alle a_n≥0.