Aloha :)
Willkommen in der Mathelounge... \o/
Mögliche Kandidaten für Extremwerte der Funktion$$f(x;y)=3x^2y-x^3-y^4$$finden wir an den Stellen, bei denen der Gradient verschwindet:$$\binom{0}{0}\stackrel!=\operatorname{grad}f(x;y)=\binom{6xy-3x^2}{3x^2-4y^3}\implies\left\{\begin{array}{c}3x(2y-x)&=&0\\4y^3&=&3x^2\end{array}\right.$$Wegen des Satzes vom Nullprodukt liefert die 1-te Gleichung zwei Fälle:
1. Fall: \(x=0\): Aus der 2-ten Gleichung folgt sofort \(y=0\).
2. Fall: \(x=2y\): Aus der 2-ten Gleichung folgt \(3y^3=12y^2\) bzw. \(4y^2(y-3)=0\).
Daher ist \(y=0\) oder \(y=3\). Wegen \(x=2y\) sind die zugehörigen \(x\)-Werte \(0\) oder \(6\).
Wir haben also zwei mögliche Kandidaten für Extremwerte gefunden:$$K_1(0;0)\quad;\quad K_2(6;3)$$
Über die Art der Extrema kann die Hesse-Matrix Auskunft geben:$$H(x;y)=\begin{pmatrix}6y-6x & 6x\\6x & -12y^2\end{pmatrix}\quad\implies$$$$H_1(0;0)=\begin{pmatrix}0 & 0\\0 & 0\end{pmatrix}\quad;\quad H_2(6;3)=\begin{pmatrix}-18 & 36\\36 & -108\end{pmatrix}$$
Die Null-Matrix hilft uns nicht weiter. Wenn in diesem Fall jedoch nur eine einzige dritte Ableitung an der Stelle \((0;0)\) ungleich \(0\) ist, liegt automatisch ein Sattelpunkt vor. Man sieht dofort, dass \(\frac{\partial^3f}{\partial x^3}=6\ne0\) ist, sodass Kandidat \(K_1(0;0)\) ein Sattelpunkt ist.
Beim zweiten Kandidaten können wir für die Hesse-Matrix die Hauptminoren \((-18)\) und \(648\) bestimmen, woraus folgt, dass sie negativ definit ist. Kandidat \(K_2(6;3)\) ist also ein Maximum:$$\text{Maximum bei }(x;y)=(6;3)$$
