Bestimme lokale Extremwerte der Nutzenfunktion: u(x,y):= 3xy-x^3-y^3

Question

Der Konsument konsumiert nur zwei Güter: x Einheiten des ersten Gutes und y Einheiten des zweiten Gutes. Die Nutzenfunktion des Konsumenten ist:

u(x,y)= 3xy-x³-y³

Bestimmen Sie die lokalen Extremwerte dieser Nutzenfunktion.

Answer 1

u(x, y) = 3·x·y - x^3 - y^3

ux'(x, y) = 3·y - 3·x^2 = 0

y = x^2

uy'(x, y) = 3·x - 3·y^2 = 0

x = y^2

Jetzt sollte man da eigentlich schon sehen das das vermutlich (1, 1) Ein Extrema sein muss.

Comments

Wäre das so komplett richtig oder müsste man noch mehr schreiben?

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ux'(x, y) = 3·y - 3·x² = 0
uy'(x, y) = 3·x - 3·y² = 0
2.Ableitung
ux ´' ( x, y ) = -6·x
uy '´ ( x, y ) = -6·y

Für ( 1,1 ) sind beide Ableitung negativ.
Der Punkt ( 1,1 ) ist ein Hochpunkt.

Theoretisch könnte man noch den Punkt ( 0,0 )
anführen. Dies würde aber dem Null-Konsum
entsprechen, weshalb dies der Aufgabenstellung
nicht so recht entsprechen würde.
mfg Georg