Hallo,
Willkommen in der Mathelounge!
Also ich bin komplett überfragt und hab hier überhaupt keine Ahnung....
doch hast Du! Du weißt bestimmt, dass \(i^2=-1\) ist und die drei binomischen Formeln kennst Du sicher und wie man mit den Potenzen umgeht hast Du auch schon mal üben müssen ;-)
Fangen wir mit der dritten binomischen Formel an:$$z_1\cdot z_2 = \left( \frac 32 i + 3\sqrt 2\right)\left( \frac 32 i - 3\sqrt 2\right) = \frac 94 i^2 - 18 = -\frac{81}{4}$$Das \(z_3\) steht im Nenner. Das kann man ändern indem man den Bruch mit der konjugiert komplexen erweitert (wieder kommt die dritte binomische in's Spiel)$$\frac 1{z_3} = \frac1{1+i} = \frac{1-i}{(1+i)(1-i)} = \frac{1-i}{1-i^2} = \frac{1-i}{1-(-1)} = \frac 12(1-i)$$Das ganze mit hoch 3 gibt$$\frac1{z_3^3} = \left( \frac 12(1-i)\right)^3 = \frac 1{2^3}\left( 1 - 3i + 3i^2 - i^3\right) \\ \quad = \frac 18(-2 - 2i) = -\frac 14(1+i)$$
Jetzt noch der Umgang mit Potenzen$$\frac{z_1^8 \cdot z_2^8}{z_3^6} = \frac{(z_1 \cdot z_2)^8}{z_3^6} = \left( \frac{(z_1 \cdot z_2)^4}{z_3^3}\right)^2 \\ \quad = \left( \left( - \frac{81}4\right)^4 \cdot \left(-\frac 14(1+i) \right)\right)^2 \\ \quad = \left( - \frac{81^4}{4^5} (1+i)\right)^2 \\ \quad =\frac{81^8}{4^{10}} \cdot 2i = \frac{3^{32}}{2^{19}} i$$Und warum \((1+i)^2 = 2i\) ist, darfst Du Dir selbst überlegen. Tipp: erste binomische Formel.
Gruß Werner
