Ähnlichkeit von Matrizen definiert eine Äquivalenzrelation

Question

Aufgabe:

Es sei $K$ ein Körper.

(a) Zwei Matrizen in $A, B=K^{n \times n}$ heißen ähnlich, falls es $P \in \operatorname{GL}(n, K)$ mit $B=P^{-1} A P$ gibt. Zeigen Sie:
   (i) Ähnlichkeit von Matrizen definiert eine Äquivalenzrelation $\sim$ auf $K^{n \times n}$.

   (ii) $A \sim B$ genau dann, wenn es einen endlichdimensionalen Vektorraum $V$ über $K$ mit Basen $\mathcal{B}, \mathcal{B}^{\prime}$ und eine lineare Abbildung $T: V \rightarrow V$ derart gibt, dass $A=M_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}}(T)$, $B=M_{\mathcal{B}^{\prime}}^{\mathcal{B}^{\prime}}(T)$

Problem/Ansatz:

Ich muss für die (i) ja nachweisen, dass die Ähnlichkeit symmetrisch, transitiv und reflexiv ist.

Dafür habe ich jetzt folgendes, komme aber nicht weiter:

Symmetrie: A$\sim$B ⇒ B$\sim$A,

                 denn: B=P^-1AP       (wie stelle ich das jetzt um, damit da steht: A=P^-1BP ?)

Transitivität: A$\sim$B, B$\sim$C ⇒ A$\sim$C,

                denn: B=P^-1AP und C=P^-1BP ⇒ C=P^-1P^-1APP   (wie bekomme ich die doppelten P's weg?)

Reflexivität: A$\sim$A,

                   denn A=P^-1AP, weil ?

Für die (ii) habe ich gar keinen Ansatz, wie man das machen soll...

Answer 1

B=P^-1AP     (wie stelle ich das jetzt um, damit da steht: A=P^-1BP ?)

Überhaupt nicht.

Sei $A\sim B$.

Sei $P\in\operatorname{GL}(n,K)$ mit $B=P^{-1}AP$.

Es gilt

$\begin{aligned} & & B & =P^{-1}AP & & |\cdot\left(P^{-1}\right)^{-1}\\ & \implies & \left(P^{-1}\right)^{-1}B & =\left(P^{-1}\right)^{-1}P^{-1}AP\\ & \implies & \left(P^{-1}\right)^{-1}B & =AP & & |\cdot P^{-1}\\ & \implies & \left(P^{-1}\right)^{-1}BP^{-1} & =APP^{-1}\\ & \implies & \left(P^{-1}\right)^{-1}BP^{-1} & =A\end{aligned}$

A=P^-1AP, weil ?

Weil man als $P$ die Einheitsmatrix verwenden kann.

denn: B=P^-1AP und C=P^-1BP

Sicherlich nicht. Die Matrix, wegen der $A\sim B$ ist, muss nicht die gleiche sein wegen der $B\sim C$ ist.

Sei $A\sim B$ und $B\sim C$.

Seien $M,N\in\operatorname{GL}(n,K)$ mit $B=M^{-1}AM$ und $C=N^{-1}BN$.

Bestimme eine Matrix $P$, so dass $C = P^{-1}AP$ ist.