Hallo Adar,
eine Rotation lässt sich als Multiplikation einer Rotationsmatrix \(R\) mit einem Vektor \((x|\,y)\) darstellen. Die Rotationsmatrix um einen WInkel \(\alpha\) ist$$R_\alpha = \begin{pmatrix}\cos \alpha& -\sin\alpha\\ \sin\alpha& \cos \alpha\end{pmatrix}$$Wenn man also eine Funktion \(f(x,y)=0\) hat und möchte den Graph um \(\alpha\) drehen, muss man einen beliebigen Punkt \((u|\,v)\) des gedrehten Graphen erst zurück(!) drehen und dann müssen die so 'erdrehten' Koordinaten die Funktion erfüllen. D.h. es ist$$\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix} = R_{(-\alpha)} \cdot \begin{pmatrix}u\\ v\end{pmatrix}$$Eine Quadrik \(x^2+y^2 = 7\) lässt sch schreiben als$$\begin{pmatrix}x& y\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1& 0\\ 0& 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix} = 7 $$Setzt man nun für den Vektor \(\vec x\) die obige Drehung um \(45°\) ein, so erhält man $$R_{-45°} = \frac 12 \begin{pmatrix} \sqrt 2& \sqrt 2\\ -\sqrt 2& \sqrt 2\end{pmatrix} \\ \begin{aligned}\left( \frac 12 \begin{pmatrix} \sqrt 2& \sqrt 2\\ -\sqrt 2& \sqrt 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}\right)^T \cdot \begin{pmatrix}1& 0\\ 0& 1\end{pmatrix} \cdot \frac 12 \begin{pmatrix} \sqrt 2& \sqrt 2\\ -\sqrt 2& \sqrt 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix} &= 7 \\ \frac12 \sqrt 2 \begin{pmatrix}x+y\\ -x+y\end{pmatrix}^T \cdot \begin{pmatrix}1& 0\\ 0& 1\end{pmatrix} \cdot \frac12 \sqrt 2 \begin{pmatrix}x+y\\ -x+y\end{pmatrix} &= 7 \\ \frac12 \begin{pmatrix}x+y& -x+y\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x+y\\ -x+y\end{pmatrix} &= 7\\ \frac 12\left((x+y)^2 + (-x+y)^2\right)&=7\\\frac12(2x^2+ 2y^2) &= 7\\ x^2 +y^2 &=7\end{aligned}$$es darf ja auch nichts anderes heraus kommen, denn \(x^2+y^2=7\) ist ein Kreis!
b) Rechnen Sie nach, dass die Quadrik zu XY-1= 0 durch Einsetzen Q1 und Q2 jeweils in X2-Y2-2= 0 und in XY+1=0 transformiert wird.
Rechne das bitte in der selben Art und Weise durch. Wobei die Aufgabenstellung nicht korrekt ist! \(x^2-y^2-2=0\) wird aus \(xy-1=0\) durch eine Rechstdrehung um 45° erzeugt. D.h. \(\alpha\) ist hier \(-45°\). Das zeigt folgender Graph:
Der rote Graph muss um \(\alpha=-45°\) gedreht werden, um zum blauen Graphen zu kommen.
Falls Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte.
Gruß Werner
