ich soll diese Taylor-Reihe berechnen f(x)= ex-e-x/2
Du sollst wohl eine Taylor-Reihe für die Funktion f ( x ) = e x - e - x / 2 berechnen, wobei vermutlich
f ( x ) = ( e x - e - x ) / 2
gemeint ist.
Eine Taylor Reihe ist ein unendliches Polynom, welches eine gegebene Funktion approximiert.
Der Sinn ist, dass man mit diesem Polynom auf einfachere Weise Näherungslösungen für Probleme berechnen kann, die mit der eigentlichen Funktion nur schwer oder gar nicht lösbar sind.
Eine Taylorreihe wird immer an einer Entwicklungsstelle a bestimmt. Die hast du gar nicht angegeben. Nun, dann muss ich mir einen aussuchen, ich nehme die Entwicklungsstelle a = 0.
Die Taylorreihe einer Funktion f ( x ) an der Entwicklungsstelle a sieht so aus:
$${ T }_{ f(x;a) }=\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { f }^{ (n) }(a) }{ n! } { (x-a) }^{ n } }$$
(Dabei bezeichnet f (n) die n-te Ableitung von f.)
Für eine Näherung werden also die ersten n Ableitungen von f ( x ) an der Stelle a benötigt. Diese werden dann entsprechend der Formel aufsummiert. Je größer man n wählt, desto genauer wird die Näherung.
Das Taylorpolynom dritten Grades einer Funktion f ( x ) an der Entwicklungsstelle a sieht ausgeschrieben so aus:
$$\frac { { f }^{ (0) }(a) }{ 0! } { (x-0) }^{ 0 }+\frac { { f }^{ (1) }(a) }{ 1! } { (x-0) }^{ 1 }+\frac { { f }^{ (2) }(a) }{ 2! } { (x-0) }^{ 2 }+\frac { { f }^{ (3) }(a) }{ 3! } { (x-0) }^{ 3 }$$$$= f(a)+f'(a)x+\frac { f''(a) }{ 2 } { x }^{ 2 }+\frac { f'''(a) }{ 6 } { x }^{ 3 }$$
Zur Lösung deiner Beispielaufgabe musst du nun also nur die ersten n Ableitungen der Funktion
f ( x ) = ( e x - e - x ) / 2
bestimmen (wieviele erforderlich sind, das sollte aus der Aufgabenstellung hervorgehen), deren Funktionswert an der Stelle a = 0 berechnen diese in die genannte Formel einsetzen.
Bevor du nun aber loslegst, die Funktion f ( x ) abzuleiten, hier noch ein Tipp:
f ( x ) = ( e x - e - x ) / 2 = sinh ( x )
und es gilt:
( sinh x ) ' = cosh ( x )
sowie
( cosh x ) ' = sinh x
Jede ungeradzahlige Ableitung von f ( x ) ist also gleich cosh x und jede geradzahlige Ableitung ist sinh x
Noch schöner: Es gilt:
sinh ( 0 ) = 0
sodass also jedes geradzahlige Glied in der Taylorreihe entfällt!
Damit lautet also das Taylorpolynom in Summenform von f ( y ) = ( e x - e - x ) / 2:
$${ T }_{ f(x;0) }=\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { 1 } }{ (2n+1)! } { x }^{ 2n+1 } }$$$$=\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { { x }^{ 2n+1 } } }{ (2n+1)! } }$$$$=x+\frac { { x }^{ 3 } }{ 6 } +\frac { { x }^{ 5 } }{ 120 } +\frac { { x }^{ 7 } }{ 5040 } +...$$
