Aloha :)
Eine Fläche hat 2 Freiheitsgrade, also brauchst du 2 Variablen, die du verändern kannst. Für die gegebene Punktmenge$$F_1\coloneqq\left\{(x;y;z)\in\mathbb R^2\,\big|\,x+y+z=2\;\land\;x,y,z>0\right\}$$haben wir insgesamt vier Bedingungen:$$x>0\;;\;y>0\;;\;z>0\;;\;x+y+z=2$$Wir können daher zuerst die Variable \(x\) aus \((0;2)\) frei wählen. Die Wahl \(x=2\) ist nicht möglich, weil die beiden anderen Variablen \(y,z>0\) sein sollen. Haben wir \(x\) fest gewählt, können wir \(y\in(0;2-x)\) frei wählen. Die Variable \(z\) kann nicht mehr gewählt werden, sondern ist durch \(z=2-x-y\) fest vorgegeben.
Die beiden Freiheitsgarde zum Abtasten der Fläche sind bei uns also die Variablen \(x\) und \(y\). Das gesuchte Integral ist nun:$$I=\int\limits_{F_1}(2x-3y+z)dS=\int\limits_{x=0}^2\int\limits_{y=0}^{2-x}(\,2x-3y+\underbrace{(2-x-y)}_{=z}\,)\,dy\,dx$$$$\phantom{I}=\int\limits_{x=0}^2\int\limits_{y=0}^{2-x}(2+x-4y)\,dy\,dx=\int\limits_0^2\left[2y+xy-2y^2\right]_{y=0}^{2-x}dx$$$$\phantom{I}=\int\limits_0^2\left(2(2-x)+x(2-x)-2(2-x)^2\right)dx=\int\limits_0^2\left(-3x^2+8x-4\right)dx$$$$\phantom{I}=\left[-x^3+4x^2-4x\right]_0^2=-8+16-8=0$$
