Bestimmen Sie eine Parametrisierung von F1 ={(x,y,z)∈R3 : x+y+z=2, x,y,z > 0

Question

a) Sei $F_{1}:=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x+y+z=2, x, y, z>0\right\}$.
Skizzieren Sie die Fläche und bestimmen Sie eine Parametrisierung von $F_{1}$.
Berechnen Sie das skalare Oberflächenintegral

$\int \limits_{F_{1}}(2 x-3 y+z) d S$

Bei mir hängt es leider schon am verstehen der Aufgabenstellung, ich weiß oft gar nicht wie ich vorgehen soll.

Bringt es mir was dass ich jetzt schonmal folgendes habe?

0 < x < 2,

0 < y < 2 - x,

z = -x - y + 2

Comments

Bringt es mir was dass ich jetzt schonmal folgendes habe?

0 < x < 2,

0 < y < 2 - x,

z = -x - y + 2

Ich weiß nicht, ob dir das was bringt. Vor allem hast du nicht dazugeschrieben, für welche Teilaufgabe dir das etwas bringen soll.

Du brauchst das nicht für die geforderte Skizze (was mit x+y+z=2 und mit den genannten Einschränkungen gemeint ist, das ist Stoff der Klasse 11 oder 12 -je nach Bundesland).

Auch für eine Parametrisierung brauchst du diese Ungleichung noch nicht - eine Parameterform von F1 ist ebenfalls Schulstoff.

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Die Schulzeit ist bei mir schon etwas länger her und ich bin mir ziemlich sicher, dass es bei uns in NRW damals keine parametisierung gab.

Ich weiß selbst das es vermutlich gar nicht so schwer ist, aber ich fand bisher keinen Ansatz und auch im Internet wenig was mir hilft.

Manchmal verlernt man Dinge oder kann sie von Anfang an nicht, ich weiß nicht warum es hier oft so komische Kommentare gibt wo man sich direkt dumm fühlen muss. Ich Frage nicht nach Lösungen nur nach Ansätzen

Answer 1

Bei mir hängt es leider schon am verstehen der Aufgabenstellung, ich weiß oft gar nicht wie ich vorgehen soll.

1. Aufgabe richtig lesen und verstehen. Oft sind direkt Hilfestellungen in der Aufgabe gegeben. Hier steht z.B. direkt im ersten Satz: "Skizzieren Sie die Fläche"

Dann fängt man damit auch an. Betrachte hier ruhig mal x, y, z ≥ 0 statt > 0. Denk dir gerade mal Randpunkte aus, wo min eine der Koordinaten Null wird und skizziere ein paar Punkte. Dann skizziere die Fläche.

Answer 2

Aloha :)

Eine Fläche hat 2 Freiheitsgrade, also brauchst du 2 Variablen, die du verändern kannst. Für die gegebene Punktmenge$$F_1\coloneqq\left\{(x;y;z)\in\mathbb R^2\,\big|\,x+y+z=2\;\land\;x,y,z>0\right\}$$haben wir insgesamt vier Bedingungen:$$x>0\;;\;y>0\;;\;z>0\;;\;x+y+z=2$$Wir können daher zuerst die Variable $x$ aus $(0;2)$ frei wählen. Die Wahl $x=2$ ist nicht möglich, weil die beiden anderen Variablen $y,z>0$ sein sollen. Haben wir $x$ fest gewählt, können wir $y\in(0;2-x)$ frei wählen. Die Variable $z$ kann nicht mehr gewählt werden, sondern ist durch $z=2-x-y$ fest vorgegeben.

Die beiden Freiheitsgarde zum Abtasten der Fläche sind bei uns also die Variablen $x$ und $y$. Das gesuchte Integral ist nun:$$I=\int\limits_{F_1}(2x-3y+z)dS=\int\limits_{x=0}^2\int\limits_{y=0}^{2-x}(\,2x-3y+\underbrace{(2-x-y)}_{=z}\,)\,dy\,dx$$$$\phantom{I}=\int\limits_{x=0}^2\int\limits_{y=0}^{2-x}(2+x-4y)\,dy\,dx=\int\limits_0^2\left[2y+xy-2y^2\right]_{y=0}^{2-x}dx$$$$\phantom{I}=\int\limits_0^2\left(2(2-x)+x(2-x)-2(2-x)^2\right)dx=\int\limits_0^2\left(-3x^2+8x-4\right)dx$$$$\phantom{I}=\left[-x^3+4x^2-4x\right]_0^2=-8+16-8=0$$

Comments

Ich wusste das es nicht so schwer sein konnte aber mir fehlte wirklich der Ansatz rechnen kann ich dann sogar selbst :) vielen Dank

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Manchmal muss man etwas einmal gesehen haben, oder besser noch einmal gemacht haben, damit man es versteht. Wenn dir die Antwort zu ausführlich war, nimm sie einfach zur Überprüfung deiner eigenen Rechnung ;)