Berechne die Oberfläche des Körpers: Halbkugel und aufgesetzter Kegel mit α = 45°

Question

Ein Körper besteht aus einer Halbkugel und einem aufgesetzten Kegel mit α = 45° (siehe Achsenschnitt).

Das Volumen der Halbkugel beträgt 204 cm³. Berechne die Oberfläche des Körpers.

 

Answer 1

1 ) Berechnung des Mantelflächeninhalts der Halbkugel:

V_Halbkugel = ( 2 / 3 ) * π * r ³ = 204 cm ³

<=> r = ³√ ( 204 * ( 3 / 2 ) / π ) = 4,60 cm

Die Mantelfläche M_H der Halbkugel beträgt:

M_H = 4 π r ² = 265,9 cm ² 

2 ) Berechnung des Mantelflächeninhalts des Kegels:

Die Höhe eines Kegels mit α = 45 ° ist gleich seinem Radius, der hier gleich dem Radius r der Halbkugel ist. Also ist die Höhe des Kegels

h = r = 4,60 cm

Die Seitenkante s des Kegels, die man für die Berechnung der Mantelfläche benötigt, ist Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks, dessen Katheten der Radius r der Grundfläche des Kegels und dessen Höhe h sind. Somit gilt nach Pythagoras:

s = √ ( r ² + h ² ) = √ ( 4,6 ² + 4,6 ² ) = √ ( 2 * 4,6 ² ) = 4,6 * √ 2

Die Mantelfläche M_K des Kegels ergibt sich nun aus der Formel:

M_K = π * r * s = π * 4,6 * 4,6 * √ 2 = 94,0 cm ²

Somit gilt für den Oberflächeninhalt O des abgebildeten Körpers:

O = M_H + M_K = 265,9 + 94,0 = 359,9 cm ²

Comments

Fast richtig. Da es sich um eine Halbkugel handelt, berechnet sich die Fläche: 2π r² = 132,95. Das Endergebnis ist somit 227cm²

Das war übrigens die 1. Aufgabe der Realschul-Abschlussprüfung von 2003 in Baden Württemberg