Komplexe Zahlen in kartesische Form

Question

Aufgabe:

Ich habe gegeben: z³=8i

r=2 (schon berechnet)

Berechne alle kartesischen Formen

Problem/Ansatz:

Laut Lösung ist mein Winkel phi 90 °, wie kommt man darauf. Desweiteren muss ich für z0=phi0=$\frac{90°}{3}$ rechnen

Für Z1=$\frac{90°+360°}{3}$ und Z2=$\frac{90°+2*360°}{3}$

Sind die 360 Grad festgelegt oder nur bei der Aufgabe? Bzw. das hat sicherlich was mit den Quadranten zu tuen. Gibt es da ne allgemeine Formel zum Lösen, habe nichts gefunden.

Answer 1

Hallo,

Gibt es da ne allgemeine Formel zum Lösen ------------>JA

8i liegt im 1.Quadranten (auf der y-Achse)------->π/2 

Comments

Aus "tan φ nimmt einen undefinierten Wert an" folgt nicht zwangsläufig φ =$\frac{\pi}{2}$.

Auch φ =$\frac{3\pi}{2}$ ist prinzipiell möglich.

Es fehlt der begründete Ausschluss der hier nicht möglichen Variante.

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das weiss ich doch ,das hast Du doch erklärt.

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Ich verstehe die Formel leider nicht aufgrund der Pi/2. (Also ja pi/2 sind 90 Grad, aber das ist doch schon durch die eingesetzten 90 gegeben und was mache ich bei 89 Grad?)

Kann ich auch diese Formel benutzen die scheint mir ähnlich zu sein nur mit Bogenmaß (mein Ergebnis war leider falsch). $\sqrt[n]{r}$*(cos($\frac{φ+k*2pi}{n}$+I*sin($\frac{φ+k*2pi}{n}$)

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Merken wir uns außerdem, dass Punkte, die auf den Achsen oder im Koordinatenursprung liegen, keinem Quadranten zugeordnet werden können. (Quelle: matheretter)

8i liegt im 1.Quadranten

Hmmm...

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Also ja wenn ich 0+8i einzeichne liegt es in keinem Quadranten, aber laut Regel habe ich b>0 und a<0 =pi-φ

Ich bin jetzt maximal verwirrt warum φ=pi/2 ist

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Da der Wert ja auf der Grenze zwischen q.quadrant und 2 Quadrant liegt, kann ich mir da aussuchen was ich nehme? Also Pi/2 ist fast der gleiche wert wie 90/57,296 oder wie pi-(90:57,296)?

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Quelle: Tafelwerk Volk uns Wissen Verlag Gmbh Berlin 1994

Es gibt dazu Tabellen , wo die entsprechenden Werte zu entnehmen sind

Und JA Deine Formel kannst Du auch nehmen.

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Vielen Dank erstmal für alles, ich habe jetzt eine Aufgabe mit anderen Werten spaßeshalber berechnet um zu gucken ob ich das System verstanden habe:

Z^3=3+$\frac{3}{4}$i

Berechnet habe ich Zk für k=2 also die letzte Lösung.

r=1,5536

Winkel=14°

Phi= 0,245

1,5536*(cos($\frac{0,245+2*2pi}{3}$)+i*sin($\frac{0,245+2*2pi}{3}$)

Ergebnis ist -0,663 -1,4i ... Stimmt das ?

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$z_2=-0.623105-1.31692 i$

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Stimmt denn meine aufgestellte Formel dazu? Weil die Ergebnisse unterscheiden sich ja ein wenig.

Answer 2

Hallo,

Laut Lösung ist mein Winkel phi 90 

Der Winkel ist der zwischen positiver reeller Achse und dem jeweiligen Zeiger, der bei 8i in Richtung der positiven imaginären Achse zeigt, also 90° bzw. π/2 beträgt.

Da beim Multiplizieren in der Polarform die Winkel addiert werden, suchst du den Winkel von z, für den φ_o+φ_o+φ_o=90° gilt.

Die Drehung um 360° entspricht der Drehung um 0°. Daher wird 90°+n*360° betrachtet, um alle Lösungen - hier sind es drei - zu finden.

Die Lösungen:

:-)

Comments

Also das mit dem Winkel habe ich glaube ich verstanden, nur wenn man 1+8i haben sollte dann ist der Winkel nicht wirklich so einfach abzulesen ?!?

Vermutlich wird dann immer ein schöner Winkel kommen

Das mit den 3 Lösungen verstehe ich noch nicht so ganz. Hat die 3 was mit dem Exponenten z^3 zu tuen? Wenn ich jetzt 4 Lösungen habe, habe ich dann $\frac{90°+3*360°}{3 oder (4)}$ also kommt die drei vom Exponenten oder von der Anzahl an Lösungen.

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zⁿ= ... hat n komplexe Lösungen.

z.B. z⁴=1 hat die Lösungen 1, i, -1 und -i.

Wenn der Winkel nicht 90° beträgt, kannst du ihn für x+iy mit tanφ=y/x bestimmen. Das geht mit dem Taschenrechner ganz einfach.

:-)

Answer 3

Laut Lösung ist mein Winkel phi 90 °, wie kommt man darauf

Es bleibt einem doch gar nichts anderes übrig, als hier (ohne jegliche Rechnung) einen Winkel von 90° zu erkennen.

Comments

Vielen Dank den Teil habe ich jetzt verstanden