Bestimmen Sie eine Parametrisierung

Question

Text erkannt:

a) Gegeben sei die Fläche $F_{1}:=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: z=x e^{y}, 0<x<1,0<y<1\right\}$.
Bestimmen Sie eine Parametrisierung von $F_{1}$ und berechnen Sie den Fluss des Vektorfelds
$$\vec{w}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \vec{w}(x, y, z)=\left(x y, 4 x^{2}, y z\right)^{\top}$$
durch $F_{1}$. Orientieren Sie die Fläche dabei so, dass der Normalenvektor eine positive $z$ -Komponente hat.

Problem/Ansatz:

  kann mir jemand bei a) mit einem Lösungsweg helfen, wenn möglich... - vielen Dank...

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Die Punkte innerhalb der Punktmenge$$F_1=\{(x;y;z)\in\mathbb R^3\,\big|\,z=xe^y\;\land\;x\in(0;1)\;\land\;y\in(0;1)\}$$sind schon toll parametrisiert, das können wir so übernehmen:$$\vec r=\begin{pmatrix}x\\y\\xe^y\end{pmatrix}\quad;\quad x\in(0;1)\quad;\quad y\in(0;1)$$Bis auf das Vorzeichen können wir daraus den Flächen-Normalenvektor $d\vec f$ bestimmen:

$$\frac{d\vec f}{dx\,dy}=\pm\frac{\partial\vec r}{\partial x}\times\frac{\partial\vec r}{\partial y}=\pm\begin{pmatrix}1\\0\\e^y\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\1\\xe^y\end{pmatrix}=\pm\begin{pmatrix}-e^y\\-xe^y\\1\end{pmatrix}$$Da der Normalenvektor $d\vec f$ eine postive $z$-Komponente haben soll, gewinnt das Pluszeichen:$$d\vec f=\begin{pmatrix}-e^y\\-xe^y\\1\end{pmatrix}\,dx\,dy$$

Der Fluss $\Phi$ des Vektorfeldes $\vec w$ durch diese Fläche ist daher:$$\Phi=\iint\limits_{F_1}\vec w\,d\vec f=\int\limits_{x=0}^1\;\int\limits_{y=0}^1\begin{pmatrix}xy\\4x^2\\y\cdot xe^y\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-e^y\\-xe^y\\1\end{pmatrix}\,dx\,dy=\int\limits_{x=0}^1\;\int\limits_{y=0}^1(-4x^3e^y)\,dx\,dy$$$$\phantom{\Phi}=-\int\limits_{0}^14x^3\,dx\cdot\int\limits_0^1e^y\,dy=-\left[x^4\right]_0^1\cdot\left[e^y\right]_0^1=-(e^1-e^0)=1-e$$