Wie kommt dieses Verhältnis zu Stande?

Question

Problem/Ansatz:

Wie kommt dieses Verhältnis zu Stande?

Ich hab 10:500000 also 1:50000. Wenn ich jetzt auf der einen Seite eines hinzugebe und auf der anderen Seite 50000 abziehe (jeweils 10%) also

11:450000. Somit ist das Verhältnis von 1:50000 nicht mehr gegeben. Wenn ich jetzt 10% abziehe bzw. hinzufüge, stimmt das Verhältnis wieder.

Das wäre dann 9,9:495000. Also 1:50000.

Wie kann das sein? Kann mir das jemand erklären?

Answer 1

Die Schreibweise \(1=50000\) würde ich mir ganz schnell abgewöhnen.

Ein Verhältnis von 1:500000 bedeutet, dass man die Größe auf der rechten Seite indem man mit dem Faktor \( \frac{1}{500000} \) multipliziert in die Größe auf der linken Seite umrechnen kann.

Und da liegt auch dein Denkfehler: \( \frac{11}{450000} \) ≠ \( \frac{10}{500000} \); du musst den Zähler und Nenner des Bruches gleichmäßig größer/kleiner machen, sonst veränderst du den Bruch.

Man darf eben nur erweitern und kürzen: Bei deinem anderen Beispiel gilt: \( \frac{10}{500000} \) = \( \frac{9,9}{495000} \), da du mit dem Faktor 0,99 erweiterst hast.

Comments

Und da liegt auch dein Denkfehler: \( \frac{11}{450000} \) ≠ \( \frac{10}{500000} \); du musst den Zähler und Nenner des Bruches gleichmäßig größer/kleiner machen, sonst veränderst du den Bruch.

Das weiß ich was mir nicht klar ist, dass ich wenn ich hier wieder 10% auf der einen Seite abziehe und auf der anderen hinzufüge, das Verhältnis wieder hergestellt ist. Wie kann das sein? Bzw. wie kommt es dazu?

Also wie kann es sein das das Verhältnis danch wieder hergestellt ist?

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Weil du die (falsche) Umformung, die du am Bruch vorgenommen hast, damit ja genau wieder rückgängig machst.

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Ich glaub in meinem konkreten Beispiel wäre das nicht falsch. Angenommen ich hab auf der einen Seite 10 Dollar und auf der anderen Seite 500000 Bolivar. Also das Verhältnis wäre 1:50000. Beim Marketmaking auf einer Börse gibt einer 1 Dollar auf der einen Seite rein und nimmt 50000 Bolivar auf der anderen raus. Jetzt wäre das Verhältnis nicht mehr gegeben. Das bedeutet ein Abitragierer wird das ausgleich weil er für weniger Bolivar mehr Dollar bekommt.
Also gibt er auf der einen Seite 45000 rein und nimmt auf der anderen 1,1 Dollar raus.
Also ist das Verhältnis ist wieder hergestellt und der Abitragierer hat Gewinn gemacht.

Ich versteh nur nicht wie ich das gleiche Verhältnis durch hinzufügen und abziehen wieder bekomme..

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Wir können das Ganze ja mal mit 20% probieren:

\( \frac{1}{500000} \)  →  \( \frac{12}{400000} \)  →  \( \frac{9,6}{480000} \) = \( \frac{1}{500000} \)

auch da funktioniert‘s.

Also schauen wir uns das mal allgemein an (der Einfachheit halber mal ebenfalls mit 20%):

\( \frac{a}{b} \)   →  \( \frac{a \cdot 1,2}{b \cdot 0,8} \)  →  \( \frac{a \cdot 1,2 \cdot 0,8}{b \cdot 0,8 \cdot 1,2} \)  =  \( \frac{a}{b} \)

Also hast du den Starbruch dadurch, dass du die Operationen umgekehrt zueinander angewendet hast, insgesamt um \(1,2 \cdot 0,8 = 0,8 \cdot 1,2 =0,96\) erweitert.

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Super, danke!