Sei g stetig und g(0) = g(1). Zeige für alle n existiert ein z, dass g(z + 1/n) = g(z).

Question

Aufgabe:

Ich habe folgende Frage:

Wir haben g: [0,1]→ℝ, wobei g stetig ist und g(0)=g(1) gilt. Nun soll ich zeigen, dass für jedes n∈ℕ ein z∈[0,1] existiert, damit g(z + \( \frac{1}{n} \)) = g(z) gilt.

Hoffe mir kann jemand helfen. Danke ;D

Comments

Standardansatz mit Zwischenwertsatz $$ f(z) := g(z) - g\left(z + \frac 1 n\right) $$ ist eine stetige Funktion auf \( \left[0, \frac{n-1}{n}\right] \). Wir wollen zeigen, dass diese Funktion eine Nullstelle hat. Dazu suchen wir \( z_1, z_2 \) mit \( f(z_1) < 0 < f(z_2) \). Dann folgt die Behauptung direkt aus dem ZWS.

Was ist $$ \sum_{m=0}^{n-1} f\left(\frac m n\right) = ? $$

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Die Summe müsste doch eine Teleskopsumme sein. Also kommt da raus: g(0) - g(1), was ja gleich ist. Also ist das Ergebnis der Summe:\(\sum_{m=0}^{n-1} f\left(\frac m n\right)\) = 0

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Gut. Und jetzt überlegen wir mal was das bedeutet

Wenn mind. ein Summand =0 ist haben wir mind. eine Nst von f gefunden, dann ist nichts mehr zu zeigen.

Andernfalls sind alle Summanden ≠0.

Was wäre wenn alle Summanden jetzt positiv (also >0) wären? Was wenn alle negativ (<0) wären?

Was folgerst du?

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Ich steh grad irgendwie auf dem Schlauch. Aber wenn alle positiv wären, dann könnte die Summe ja nicht = 0 sein und bei negativ genau so... oder? Folgt daraus dass ein Summand = 0 ist?

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Ich steh grad irgendwie auf dem Schlauch. Aber wenn alle positiv wären, dann könnte die Summe ja nicht = 0 sein und bei negativ genau so... oder?

Ja.

Folgt daraus dass ein Summand = 0 ist?

Nein. Sondern viel eher dass einer positiv und ein anderer negativ sein muss.

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Ach stimmt und daraus folgt dass es eine Nullstelle geben muss oder?

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Richtig. Nutze den Zwischenwertsatz.