Konvergenzradius der Cosinusreihe

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie:

Die Cosinusreihe cos(x) = \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2·n}} \)

hat Konvergenzradius r(cos) = ∞

Problem/Ansatz:

Bei der Aufgabe weiß ich nicht weiter. Vielleicht kann mir einer von euch helfen

Answer 1

Aloha :)

$$\cos(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n)!}\cdot x^{2n}=\sum\limits_{n=0}^\infty a_n\cdot (x^2)^n\quad;\quad a_n\coloneqq\frac{(-1)^n}{(2n)!}$$

Der Konvergenzradius der Reihe ist

$$r=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{(-1)^n}{(2n)!}\cdot\frac{(2(n+1))!}{(-1)^{n+1}}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{(2n+2)(2n+1)\cdot(2n)!}{(2n)!}$$$$\phantom{r}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\;(2n+2)(2n+1)\;\right)=\infty$$Die Cosinus-Reihe konvergiert also für alle \(x^2<r=\infty\), also für alle \(x\in\mathbb R\).