Hallo,
(a) Zeigen Sie, dass der Mittelpunkt \( M \) der Strecke \( \overline{A B} \) ein Fixpunkt von \( f \) ist.
Wenn \(f\) eine affine Abbildung ist, so lässt sich die Funktion \(f\) mit einen beliebigen Punkt \(P\) schreiben als$$f(P) = Q \cdot P + t$$wobei \(Q\) eine 2x2-Matrix und \(t\) eine Translation in \(\mathbb R^2\) ist. Laut Voraussetzung gilt$$B= f(A) = Q \cdot A + t \\ A = f(B) = Q \cdot B + t$$Die Addition beider Gleichungen und anschließende Division durch \(2\) liefert$$\underbrace{\frac12(A+B)}_{=M} = Q\cdot \underbrace{\frac12(A+B)}_{=M} + t$$\(M\) wird auf sich selbst abgebildet.
(b) Weisen Sie nach, dass die Gerade \( g \) durch die Punkte \( A \) und \( B \) Fixgerade von \( f \) ist.
ein Punkt \(G\) auf der Geraden \(g\), die durch \(A\) und \(B\) verläuft, lässt sich schreiben als $$G = A\cdot (1-\lambda) + B\cdot \lambda, \quad \quad G \in g \,\forall \lambda \in \mathbb R$$und das setze ich in die affine Abbildung \(f\) ein$$\begin{aligned} f(G) &= Q (A (1-\lambda) + B\lambda) + t \\ &= Q A - QA\lambda + QB\lambda + t\\ &= Q A + t - QA\lambda - t\lambda + QB\lambda + t\lambda\\ &= \underbrace{Q A + t}_{=B} - (\underbrace{QA + t}_{=B})\lambda + (\underbrace{QB + t}_{=A})\lambda\\ &= B(1-\lambda) + A\lambda \end{aligned}$$und man erhält wieder einen Punkt \(f(G)=G' \in g\).
Gruß Werner
