Berechnen Sie die Determinante der reellen n x n Matrix

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie die Determinante der reellen \( n \times n \) Matrix

\( \boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc} 0 & \ldots & 0 & d_{1} \\ \vdots & . & d_{2} & * \\ 0 & . & . & \vdots \\ d_{n} & * & \ldots & * \end{array}\right) \)

Problem/Ansatz:

Wie gehe ich so etwas an?

Comments

Du könntest den Laplace‘schen Entwicklungssatz nutzen und nach der ersten Spalte (oder Zeile) entwickeln, da dort alle Unterdeterminanten bis auf eine wegfallen. Dasselbe dann mit dieser usw..

Egal welche Methode Du nutzt, am Ende mußt Du die ganzen Vorzeichenwechsel aufaddieren. Da mag eine Formel von Gauss nützlich sein :-)

Zur Kontrolle:

\( \operatorname{det} A=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} d_{1} d_{2} \ldots d_{n} \).

Answer 1

In obere Dreiecksform umwandeln. Zum Beispiel angefangen mit

\(\begin{aligned}\mathrm{I}&\leadsto \mathrm{I} + \mathrm{N}\\\mathrm{N}&\leadsto\mathrm{N}-\mathrm{I}\end{aligned}\)

Schau nach welche Auswirkungen diese elementaren Zeilenumformungen auf die Determinante haben.

Die Determinante einer Matrix in oberer Dreiecksform ist das Produkt der Einträge auf der Hauptdiagonalen.

Answer 2

Durch Zeilenvertauschungen auf eine links-obere Dreiecksmatrix bringen. Deren Determinante ist das Produkt der Diagonalelemente. Eine Zeilenvertauschung ändert das Vorzeichen der Determinante.

Geht auch allein mit Spaltenvertauschungen, da gilt dasselbe.