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Aufgabe:

Seien M und N endliche Mengen mit m = |M| und n = |N|. Wie viele Funktionen gibt es von M x N nach P(M)?


Problem/Ansatz:

Ich verstehe hier überhaupt nicht, was ich machen muss. Laut Produktregel gilt ja: |M x N| = |M| * |N|.

Bei dieser Aufgabe hier weiß ich aber überhaupt nicht, was ich tun soll.

P(M) Wäre die Potenzmene von M. (P(M) := { X | X ⊆ M} die Potenzmenge von M).

Laut Definition bzw. Beispiel aus einem Buch gilt:

Falls M = {1,2} und N = {a,b,c}, so gilt:

M x N = {(1,a), (1,b), (1,c), (2,a), (2,b), (2,c)}

und P(M) = {∅, {1}, {2}, {1,2}},

was mir auch einleuchtet.


Aber laut Aufgabenstellung gibt es ja dieses Mal keine zugewiesenen Werte. Das heißt, ich würde das Ganze dann so beantworten:

Es gibt so viele Funktionen, soviel gemeinsame Elemente es jeweils in den Mengen M und N gibt, sowie zusätzlich eben noch die zusammengesetzten (wie m Beispiel in P(M) mit {1,2} und eben die leere Menge.

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Es gibt \(\left|B\right|^{\left|A\right|}\) Funktionen von \(A\) nach \(B\), weil jedes \(a\in A\) auf eines von \(|B|\) Elementen abgebildet werden kann.

Seien M und N endliche Mengen mit m = |M| und n = |N|. Wie viele Funktionen gibt es von M x N nach P(M)?

Stelle \(|M \times N|\) und \(|P(M)|\) mittels \(m\) und \(n\) dar und setze in obige Formel ein.

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Hi, ich bins nochmal.

Also wenn |M x N| = |M| * |N| gilt, dann folgt ja,

da |M| = m und |N| = n:

|M x N| = |M| * |N| = m * n.


Wie geht es dann aber weiter?

also würde m * n auf P(M) abgebildet werden,

wobei P(M) = P(m) ?

Es gibt \(\left|B\right|^{\left|A\right|}\) Funktionen von \(A\) nach \(B\)

Einsetzten von \(M\times N\) für \(A\) und \(P(M)\) für \(B\) ergibt:

(1)        Es gibt \(\left|P(M)\right|^{\left|M\times N\right|}\) Funktionen
             von \(M\times N\) nach \(P(M)\).

|M x N| = |M| * |N| = m * n.

Einsetzen in (1) ergibt:

(2)        Es gibt \(\left|P(M)\right|^{m\cdot n}\) Funktionen
             von \(M\times N\) nach \(P(M)\).

Stelle \(|P(M)|\) mittels \(m\) und \(n\) dar und setze in (2) ein.

Wie stelle ich |P(M)| mittels m und n dar? Das wäre ja dann |P(M)| = |P(m)| oder nicht? Und das setze ich dann ein, und dann?

Wie stelle ich |P(M)| mittels m und n dar?

Irgendwo in deinen Unterlagen müsste stehen, wie man aus der Mächtigkeit \(m\) der Menge \(M\) die Mächtigkeit der Potenzemenge von \(M\) bestimmt.

|P(M)| = |P(m)|

Was ist P(m)?

Naja, |M| ist doch = m.

Was ist P(m)?

Das weiß ich ja leider nicht.

Aber wenn ich die Potenzmenge von M bestimmen möchte, muss sie doch endlich sein.


Das hat glaube ich etwas mit der Unendlichkeit und Kardinalität zu tun. So richtig etwas dazu finde ich aber leider nicht im Skript.

Es ist \(|P(A)| = 2^{|A|}\) für jede Menge \(A\).

Dieser Sachverhalt wurde hier gestern erörtert.

Ok. Dann gibt es 2|M| (hoch: m*n) Funktionen von M x N nach P(M).

Das wars dann? oder muss ich noch was weiter rechnen/zeigen?

Du musst noch weiter rechnen.

2|M| (hoch: m*n)

Ich kenne diese Notation nicht.

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