Beschränktheit von Punkteräumen

Question

kann mir eventuell jemand anhand eines Beispiels erklären wie ich im metrischen Raum Punktmengen auf Beschränktheit untersuche?

Ich weiß nicht wie man das errechnet oder darstellt?

Stehe in dem Bereich komplett auf dem Schlauch.

Liebe Grüße

Answer 1

Moinsen

Beschränktheit von Mengen in metrischen Räumen ist definiert als:

M ist beschränkt, falls du ein Radius R>0 findest und ein Element x aus X mit der Eigenschaft, dass die Menge M ganz in der Kugel um diesen Punkt x mit Radius R enthalten ist

Comments

danke für deine Antwort.

Ich konnte es jetzt wenigstens etwas in Gedanken visualisieren.

Ich denke es ist jetzt etwas klarer geworden.

Könntest du vielleicht wenn du Zeit und Lust hast einmal die folgende Aufgabe mit mir Schritt für Schritt durchrechnen?

Ich sitze seit ungelogen einer Woche daran und hab mir auch etliche Videos angesehen aber es klickt einfach nicht

Könntest du mir vielleicht auch zeigen, wo das x mit unterstrich und y mit unterstrich im Koordinatensystem genau sind?

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Text erkannt:

Da ist deine Menge eingezeichnet. Überleg dir mal wo das Problem liegt, wenn du die euklidische Metrik wählst.

Und warum sie mit der diskreten Metrik beschränkt ist

Ps: die Hyperbel ist nicht super gezeichnet und anstatt x=0 muss da natürlich x=1 stehen ;)

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also ich denke bei der ekluidischen metrik ist das Problem einfach das wir die Hyperbel immer so weiterführen könnten ohne zu einem Ende zu kommen?

y=0 wird ja nie eintreffen das würde ja rein logisch heißen das [1,∞) oder?

Aber wie ich das anhand von aufg a) berechne das weiß ich nicht.

Und diskrete metrik sagt mir hier leider auch nichts..

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Okay Aufgabe b) würde ich jetzt sagen, das mit r=2 X beschränkt ist, da ja x>=1.

Das beides nur aus dem rein logischen.

Aber wie kann man sowas berechnen?

Oder ist hier überhaupt nichts zu berechnen und nur das Verständnis ist gefragt?

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Naja also du hast erst mal bei beiden Metriken recht :)

Bei der diskreten Metrik ist es halt relativ einfach wie du auch festgestellt hast, denn wählst du einen radius der größer als 1 ist um einen beliebigen Punkt, dann ist diese Offene Kugel bereits der gesamte Raum :) also insbesondere liegt dann deine Menge drin.

Bei der euklidischen Metrik ist das dann nicht ganz so einfach, weil du dann zeigen musst,dass für einen beliebigen Radius und einen Beliebigen Punkt die Menge nie in der Kugel enthalten sein kann. Da müsste ich auch noch selbst mal überlegen, wie man das am besten beweist :) aber das Argument in Richtung y ist aus dem unbeschränkten Intervall ist da gar nicht so schlecht :)