Wie bestimmt man die Steigung von f im Punkt (0,1), sodass sie gleich null ist?

Question

Gegeben ist die Funktion \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \)

$$ f(x, y)=(y-3)^{2} \cos (2 x)+y e^{x^{2}} $$
Bestimmen Sie eine Richtung \( \vec{v}=\left(\begin{array}{c}v_{1} \\ v_{2}\end{array}\right) \) mit \( \|\vec{v}\|=1 \), sodass die Steigung von \( f \) in Richtung \( \vec{v} \) im Punkt
\( (0,1) \) gleich null ist.

Hallo, kann mir jemand den Rechenweg dieser Aufgabe zeigen?

Answer 1

Aloha :)

Du kannst die Funktion im Punkt \(\vec x_0\) durch ein Taylor-Polynom erster Ordnung nähern:$$f(\vec x)=f(\vec x_0)+\operatorname{grad}f(\vec x_0)\cdot(\vec x-\vec x_0)$$Das können wir etwas umschreiben:$$f(\vec x_0+\Delta\vec x)=f(\vec x_0)+\operatorname{grad}f(\vec x_0)\cdot\Delta\vec x$$Wenn sich die Funktion entlang einer Richtung \(\Delta\vec x\) nicht ändert, gilt:$$f(\vec x_0+\Delta\vec x)-f(\vec x_0)=0\quad\text{bzw.}\quad\operatorname{grad}f(\vec x_0)\cdot\Delta\vec x=0$$

Wir suchen also einen Vektor \(\Delta\vec x\), der senkrecht zum Gradienten steht und normiert auf die Länge \(1\) ist. Fangen wir mit dem Gradienten an:$$f(x;y)=(y-3)^2\cos(2x)+ye^{x^2}$$$$\operatorname{grad}f(x;y)=\binom{-2(y-3)^2\sin(2x)+2xye^{x^2}}{2(y-3)\cos(2x)+e^{x^2}}\implies\operatorname{grad}f(0;1)=\binom{0}{-3}$$

Es gibt zwei Richtungen mit Länge \(1\), die darauf senkrecht stehen:$$\vec v_1=\binom{1}{0}\quad;\quad\vec v_2=\binom{-1}{0}$$

Comments

Danke dir erstmal.

Jetzt wäre meine Frage in den Lösungen steht bei v1= 1 und bei v2= 0. Steht bei v2=0, weil darüber eine negative Zahl ist und man die deswegen nicht nehmen kann?

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und eine Frage noch... wie kommst du eigentlich auf v1 und v2, also wie hast du das berechnet? :)

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Das \(\vec v\) ist das \(\Delta\vec x\) aus der Beschreibung.

Das Skalarprodut von \(\vec v\) mit dem Gradienten muss \(0\) sein.

$$\binom{0}{-3}\cdot\binom{v_1}{v_2}=0\cdot v_1-3v_2=-3v_2\stackrel!=0\implies v_2=0$$Die zweite Komponente muss also \(0\) sein. Die erste kann beliebig sein. Da die Länge des Vektors \(\vec v\) nach Aufgabenstellung aber \(1\) sein soll, bleibt nur \(v_1=\pm1\) übrig.

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Ahh ok verstehe

und wenn man noch den größten Anstieg im Punk (0,1) berechnen muss ist ja, \( \begin{pmatrix} 0\\-3 \end{pmatrix} \) ausgerechnet, jetzt steht ja da 0 und -3, wird die 3 dann einfach positiv und der größte Anstieg?

Sry für die ganzen Fragen..

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Ja, der größte Anstieg geht tatsächlich in Richtung des Gradienten, also in Richtung \(\binom{0}{-1}\). Richtungen werden normiert, daher gib besser nicht \(\binom{0}{-3}\) an.

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bin gerade etwas verwirrt hahah wie kommst du jetzt auf \( \begin{pmatrix} 0\\-1 \end{pmatrix} \)

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Wenn du den Gradienten \(\binom{0}{-3}\) normierst, bekommst du die Richtung \(\binom{0}{-1}\). Richtungen werden auf die Länge \(1\) normiert.

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ahhh okayy verstehe, Dankeschöön!!

klingt zwar jetzt etwas dumm... aber, dass die 3 der größte Anstieg ist, hatte ich in den Lösungen gesehen, an sich sowie ich das immer ausrechne wäre \( \begin{pmatrix} 0\\-3 \end{pmatrix} \) der größte Anstieg, also wie kommt man hier auf 3 ? einfach die -3 positiv machen ?

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Die \(3\) ist falsch. Der Gradient zeigt immer in Richtung des größten Anstiegs. Die \((-3)\) ist richtig.

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Ohh, okay, dann war das Ergebnis in der Lösung falsch, dann weiß ich Bescheid.

Dankeee dir vielmals für die Hilfe!!!

Answer 2

Diese Richtung sollte senkrecht zum Gradienten verlaufen.