Aufgabe zu linearer Algebra, Matrizen, Gleichungssysteme

Question

bei folgender Aufgabe weiss ich nicht so recht, wie ich begründen soll...

$$\text{ Gibt es eine (2,2)-Matrix A, so dass}$$

$$A \cdot

\begin{bmatrix}
a & b\\
c & d
\end{bmatrix}

=

\begin{bmatrix}

b & d\\

a & c

\end{bmatrix}$$

$$\text{ für alle } a,b,c,d \in \mathbb{R} \text{ gilt? Begründen Sie ihre Entscheidung! }$$


So, ich habe das erstmal ausmultipliziert:

$$

\begin{bmatrix}

x_1 & x_2 \\

x_3 & x_4

\end{bmatrix}

\cdot

\begin{bmatrix}

a & b\\

c & d

\end{bmatrix}

= \begin{bmatrix} x_1 \cdot a + x_2 \cdot c & x_1 \cdot b + x_2 \cdot d\\ x_3 \cdot a + x_4 \cdot c & x_3 \cdot b + x_4 \cdot d \end{bmatrix}

$$

Für mich stellt sich jetzt das lineare Gleichungssystem

$$x_1 a + x_2 c = b$$

$$x_1 b + x_2 d = d$$

$$x_3 a + x_4 c = a$$

$$x_3 b + x_4 d = c$$

zur Lösung. Ich weiss aber nicht, wie ich begründen soll, dass es nicht lösbar ist...



Danke,

Thilo

Answer 1

Wähle a=d=1 und b=c=0, damit ergibt sich genau eine Matrix, die die definierende Gleichung erfüllt. Wähle dann a=d=0, b=1,c=-1 und stelle fest, dass obige Matrix die Gleichung nicht erfüllt. Daher kann es kein solches A geben.

Comments

Wie kommst du auf diese Zahlen?

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Das erste ist schlicht die Einheitsmatrix, damit kreigt man A ohne Rechnung. Das zweite sind möglichst kleine Zahlen, so dass es nicht mehr funktioniert. Allgemein sieht man dass b und c verschieden sein müssen.