Berechnen Sie mitels Totalen Differentials die angenäherte Änderung des Funktionswertes, wenn die Koordinaten x=1 um …

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie mitels Totalen Differentials die angenäherte Änderung des Funktionswertes, wenn die Koordinaten x=1 um + 0,5 und y = 1 um + 0,01 in der Definitionsebene verschoben werden.

Die Funktion hat die Gleichung f(x,y)= 1+x^2+y^2

Vergleiche den Wert mit der tatsächlichen Funktionsänderung.

Answer 1

Aloha :)

Aus der Aufgabenstellung extrahieren wir:$$f(x;y)=1+x^2+y^2\quad;\quad(x_0|y_0)=(1|1)\quad;\quad(\Delta x|\Delta y)=(0,5|0,01)$$Zur Bestimmung der Änderung bestimmen wir das totale Differential:$$df=\frac{\partial f}{\partial x}\,dx+\frac{\partial f}{\partial x}\,dy=2x\,dx+2y\,dy$$Wir setzen \((x_0|y_0)\) und \((\Delta x|\Delta y)\) ein:$$\Delta f\approx2x_0\cdot\Delta x+2y_0\cdot\Delta y=2\cdot1\cdot0,5+2\cdot1\cdot0,01=1,02$$

Die tatsächliche Funktionsänderung ist:$$\Delta f=f(1,5|1,01)-f(1|1)=4,2701-3=1,2701$$