Berechnen Sie mit Hilfe des totalen Differentials für die Funktion die ungefähre Änderung

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie mit Hilfe des totalen Differentials für die Funktion

f(x,y)=5xe^(x-4y^2)

die ungefähre Änderung des Funktionswertes beim Übergang vom Punkt (1;0,5) zum Punkt (1,05 ; 0,501) und vergleichen Sie anschließend diesen Wert mit der tatsächlichen Funktionswertänderung

Problem/Ansatz:

Ich bin für jeden Lösungsansatz oder Lösung sehr dankbar. schaut gern in den upload da kann man es besser lesen

Text erkannt:

a) Berechnen Sie mit Hilfe des totalen Differentials für die Funktion
\( f(x, y)=5 x e^{x-4 y^{2}} \)
die ungefähre Änderung des Funktionswertes beim Übergang vom Punkt \( (1 ; 0,5) \) zum Punkt \( (1,05 ; 0,501) \) und vergleichen Sie anschließend diesen Wert mit der tatsächlichen Funktionswertänderung

Answer 1

Aloha :)

Das totale Differential der Funktion \(f(x;y)=5xe^{x-4y^2}\) lautet:$$df=\frac{\partial f}{\partial x}\,dx+\frac{\partial f}{\partial y}\,dy=\left(5e^{x-4y^2}+5xe^{x-4y^2}\right)dx+5xe^{x-4y^2}\cdot(-8y)\,dy$$$$df=5(x+1)e^{x-4y^2}dx-40xy\,e^{x^2-4y^2}dy$$Speziell am Punkt \((1\big|\frac12)\) erhalten wir:$$df=10\,dx-20\,dy$$Zum Punkt \((1,05\big|0,501)\) haben wir die Änderungen \(\Delta x=0,05\) und \(\Delta y=0,001\).

Die ungefähre Änderung der Funktion ist daher:$$\Delta f\approx10\cdot\Delta x-20\cdot\Delta y=0,5-0,02=0,48$$

Die exakte Änderung ist:$$\Delta f=f(1,05\,;\,0,501)-f(1\,;\,0,5)=5,49712-5=0,49712$$

Answer 2

Hallo

 ∂f/∂x*Δx+∂f/d∂y*Δy=Δf

die partiellen Ableitungen an der Stelle  einsetzen und die Unterschiede Δx und Δy

Gruß lul