Approximieren Sie die Änderung des Ertrags mit Hilfe des totalen Differentials.16*ln(x1)+12*ln(x2)

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Ein Ackerbau wird mit $x_{1}$ Einheiten Naturdünger und mit $x_{2}$ Einheiten Kunstdünger behandelt. Die Ertragsfunktion lautet:
$E=f\left(x_{1}, x_{2}\right)=18 \cdot \ln \left(x_{1}\right)+12 \cdot \ln \left(x_{2}\right) .$
Der Düngemitteleinsatz von derzeit $5.5$ Einheiten Naturdünger und 3 Einheiten Kunstdünger wird geändert, so dass $8.2 \%$ weniger Naturdünger und $4.1 \%$ mehr Kunstdünger eingesetzt werden.
Approximieren Sie die Änderung des Ertrags mit Hilfe des totalen Differentials.

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand bitte diese Aufgabe mit Rechenweg erkläre..Danke

Answer 1

Aloha :)

Das totale Differential der Funktion lautet:

$$df(x_1;x_2)=\frac{\partial f}{\partial x_1}\,dx_1+\frac{\partial f}{\partial x_2}\,dx_2=\frac{18}{x_1}\,dx_1+\frac{12}{x_2}\,dx_2$$

Speziell an der Stelle $(x_1|x_2)=(5,5|3)$ lautet das totale Differential:$$df=\frac{18}{5,5}\,dx_1+\frac{12}{3}\,dx_2$$

Mit $(dx_1=-8,2\%\cdot 5,5)$ und $(dx_2=4,1\%\cdot 3)$ liefert das totale Differential folgende Abschätzung für die Änderung des Ertrags:$$\Delta f=\frac{18}{5,5}\cdot(-0,082\cdot5,5)+\frac{12}{3}\cdot(0,041\cdot3)=-18\cdot0,082+12\cdot0,041=-\frac{123}{125}$$