Wie komme ich auf diese 1/2?

Question

Aufgabe:

Untersuche die Folge auf Monotonie und Beschränktheit

(b_n)_n≥1 mit b_n= \( \frac{\sqrt{n²-1}}{2n+1} \)

Problem/Ansatz:

Die Monotonie bekomme ich heraus (monoton wachsend, da b_n<b_n+1), aber in der Musterlösung steht für die Beschränktheit: 0≤ b_n <1/2.

Wie komme ich auf diese 1/2?

Answer 1

Für positive \(n\) gilt

        \(\frac{\sqrt{n²-1}}{2n+1}\leq\frac{\sqrt{n²}}{2n+1}=\frac{n}{2n+1}\leq\frac{n}{2n}=\frac{1}{2}\).