Zeigen Sie, dass die Gleichung 4x^2 - y^2 = 22 keine ganzzahligen Lösungen besitzt.

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Gleichung 4x^2 - y^2 = 22 keine ganzzahligen Lösungen besitzt.

Problem/Ansatz:

Es gilt: 4x^2 - y^2 = 22

<=> 4x^2 = 22 + y^2

<=> 4x^2 - 22 = y^2

<=> y^2 = 2 * (2x^2 -11)

<=> y^2 = 2 * u

u = 2x^2 - 11 = 2 * (x^2 - 5) -1

=> u ist ungerade, müsste aber gerade sein, da y^2 alle Primfaktoren von y zweimal enthalten muss. Also gibt es keine ganzzahligen Lösungen.

Ist meine Lösung so richtig? Wenn ja, ist die Syntax, also das Aufschreiben, auch richtig?

Liebe Grüße

Comments

Ja, ist vollkommen in Ordnung.

Kompakter: Betrachte die Gleichung modulo 4:

-y^2 ≡ 2 mod (4)

<=> y^2 ≡ 2 mod (4)

aber Quadrate sind entweder ≡0 mod (4) oder ≡1 mod (4).

Answer 1

4x^2 = (2x)^2

wäre hier doch sehr naheliegend.

Answer 2

4x^2 - y^2 = 22

(2x)²-y²=22

(2x-y)*(2x+y)=22

1)

1*22=22

2x-y=1

2x+y=22

Addieren → 4x=23 ...

2)

2*11=22

2x-y=2

2x+y=11

Addieren --> 4x=13 ...

:-)

Comments

Ich hatte nicht die Absicht, mit meiner Antwaort diesen Lösungsweg anzuregen...

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Ich hatte nicht die Absicht, mit meiner Antwaort diesen Lösungsweg anzuregen...

Da MatHaeMatician die vorgegebene Lösung schon als richtig bestätigt hatte, fand ich es sinnvoll, den alternativen Lösungsweg ausführlich aufzuschreiben.

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Statt "Antwaort" muss sollte es "Antwort" heißen.

Meiner Meinung nach darf man spätesten bei

(2x-y)*(2x+y) = 22

aufhören, denn y ist entweder ungerade oder gerade, was dann auch für die beiden Faktoren der linken Seite gilt. Daher ist das Produkt auf der linken Seite entweder ungerade oder durch 4 teilbar, während für 22 auf der rechten Seite weder das eine noch das andere zutrifft.

Das sind, wie ich finde, kurze und ziemlich elementare Überlegungen aus der Schulmathematik.

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Auch schön.

Das zeigt doch, dass es verschiedene Lösungswege gibt.

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Ja, finde ich auch.