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Hey!

Angenommen ich habe eine Basis S vom Vektorraum V. Dann ist S linear unabhängig.

Ich soll zeigen, dass S linear abhängig wird, falls ich einen Vektor vV\S v \in V \backslash S zu S hinzufüge.


Mein Ansatz ist folgender:

Da S eine Basis von V ist, kann ich v als Linearkombination der Vektoren siS s_{i} \in S darstellen.

Liege ich richtig, dass daraus folgt, dass ein beliebiges siS s_{i} \in S existiert, sodass an Spalte j in si s_{i} und in vi v_{i} der Eintrag 0 \neq 0 ist? Dadurch ist die Basis ja nicht mehr linear abhängig, da ich den Nullvektor auch als nichttriviale Linearkombination darstellen kann.


Ich hoffe es ist verständlich was ich geschrieben habe, und danke im Voraus!

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Sei SS eine Basis von VV.

Sei vVSv\in V\setminus S.

Sei v=i=0nαisiv = \sum\limits_{i=0}^n \alpha_is_i eine Darstellung von vv als Linearkombination von SS.

Dann ist vi=0nαisiv - \sum\limits_{i=0}^n \alpha_is_i eine nicht-triviale Linearkombination des Nullvektors.

Also ist S{v}S\cup \{v\} linear abhängig.

sodass an Spalte j in si s_{i}

Vektoren haben nicht unbedingt Spalten.

und in vi v_{i}

Was ist viv_i?

Avatar von 107 k 🚀

Ich bin dabei von Zeilenvektoren ausgegangen, kann man ja genauso gut Spaltenvektoren nehmen. Das mit vi v_{i} habe, also S{v} S \cup \{v\} ich falsch ausgedrückt, sorry. Ich meine damit den Vektor v den ich bei S hinzugefügt habe. Kann sein, dass ich hier einen riesen Denkfehler begehe, aber dadurch ist doch an Spalte/Zeile i in beliebigem Vektor sis_{i} und in v v der Eintrag 0 \neq 0

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