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Aufgabe: Bestimme die reellen Fourier-Koeffizienten ak und bk

Sei f: ℝ→ℝ eine 2-periodische Funktion

f(t)= t+1 für -1≤t<0 und 1 für 0≤t<1


Problem/Ansatz:

Ich erhalte für ak:

\( \int\limits_{-1}^{0} \) (t+1)cos(kπt) dt + \( \int\limits_{0}^{1} \) cos(kπt) dt

Soweit so gut. Nun sollen wir mit der partiellen Integration das erste Integral berechnen und da komme ich nicht weiter.

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Wie habt Ihr die Formel für partielle Integration formuliert.

Es gibt dann 2 Möglichkeiten: Einer der beiden Faktoren ist zu integrieren, der andere zu differenzieren. Probiere beide aus. Fertig

1 Antwort

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und da komme ich nicht weiter.


Leider sehen wir nicht, wo du nicht weiterkommst.

Es gibt doch nur zwei Möglichkeiten für die partielle Integration:

u'(t)=(t+1) und v(t)=cos(kπt)

oder

u(t)=(t+1) und v'(t)=cos(kπt)

Welchen dieser beiden Ansätze hast du verwendet, und warum hat dieser Ansatz nicht funktioniert?

Avatar von 53 k 🚀

Ich habe u'(t)=(t+1) und v(t)=cos(kπt) verwendet

und die Formel aus der Vorlesung lautete:

\( \int\) u´v dx = uv - \( \int\) uv´ dx


Ich komme dann auf die Formel

1/2t²+t*cos(kπt) - \( \int\) 1/2t²+1*(-sin(kπt)

Was mache ich dann (sofern das überhaupt richtig ist) mit dem hinteren Integral?

In der Musterlösung steht als Ergebnis für ak= \( \frac{1}{k²π²} \) - \( \frac{1}{k²π²} \) (-1)^k

Ich verstehe auch nicht, wie ich auf die k²π² komme.


Ich habe u'(t)=(t+1) und v(t)=cos(kπt) verwendet

Damit hast du alles verschlimmbessert. Außerdem steht in deiner Rechnung ein Plus, wo ein Mal hingehört.

Wähle (t+1) als Funktion und cos(kπt) als Ableitung. Dann musst du nur noch

1*(Stammfunktion von cos(kπt))

integrieren.

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