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Aufgabe:

Bestimmen Sie alle Lösungen in der kartesischen Form von Z^3 = \( \frac{1}{i} \)


Problem/Ansatz:

Ich will logischerweise zuerst r bestimmen mit r^2=a^2+b^2

Ich habe schon versucht alles umzustellen komme aber trotzdem nicht weiter:

Z^3=i^-1 dann dritte wurzel ziehen:

Z= i^(-1*\( \frac{1}{3} \)) ergibt ja Z= i^(-\( \frac{1}{3} \)) nur leider komme ich immer noch nicht an mein b ran (a existiert ja eh nicht)

Ich würde die nächsten schritte danach erstmal alleine probieren vielen dank im voraus :)

von

Laut Wolfram ist \( \frac{1}{i} \) = - i

3 Antworten

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Beste Antwort

Hallo,

Meine Berechnung:

blob.png

von 112 k 🚀

Wahnsinn du kannst echt alles :D ich komme dann auf die gleichen Lösungen nur verstehe ich eine Sache noch nicht: Warum kann ich nicht den Winkel errechnen mit arctan\( \frac{b}{a} \) erhalte dann meinen Winkel und errechne dann das Bogenmaß mit (\( \frac{Winkel alpha}{57,296} \))? da ich den dritten quadranten habe sind es dann pi + bogenmaß. nur leider haut das ja irgendwie nicht hin weil ich ja einen winkel von 0 rauskriegen würde ... also ich verstehe nicht ganz wofür ich dann diese angaben für die einzelnen quadranten brauche wenn die scheinbar falsch sind: 1Q: bogenmaß bleibt wie errechnet. 2Q: pi-Bogenmaß. 3Q: pi+Bogenmaß. 4Q: 2pi-Bogenmaß

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\(z^3=\dfrac1i=\dfrac{1\cdot (-i)}{i\cdot(-i)}=-i=1\cdot e^{3i\pi/2}\\ z_1=e^{i\pi/2}=i\\ z_2=e^{7i\pi/6}=-\frac{\sqrt3}{2}-\frac i2 \\z_3=e^{11i\pi/6}=\frac{\sqrt3}{2}-\frac i2 \)

:-)

von 29 k

Vielen Dank für die Hilfe ! ;)

-i=\( e^{0,5*3*π} \)   ??

Wolfram sagt, das sei falsch.

Ich sehe gerade, dass du das i im Exponent vergessen hast.

Danke für den Hinweis, Moliets.

Ich habe es berichtigt.

:-)

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Hallo Lapplöffel, $$\frac 1i = -i$$ was auch irgendwie logisch ist, wenn man eine gewisse Vorstellung von komplexen Zahlen hat. Hat man die nicht, geht das formal so:$$\frac 1i = \frac 1{0 + 1i} = \frac{0-1i}{(0+1i)(0-1i)} = \frac{-i}{0^2 - i^2} = \frac {-i}{-(-1)} = -i$$Folglich suchen wir ein \(z\) mit $$z^3 = -i$$Nun ist \(i=e^{i\pi/2}\) und somit$$-i = -e^{i\pi/2} = -1 \cdot e^{i\pi/2} = e^{i\pi}\cdot e^{i\pi/2} = e^{3i\pi/2}$$was auch auf der Hand liegt; stelle Dir doch mal \(-i\) in der Gaußschen Zahlenebene vor. Und daraus folgt$$z^3 = e^{3i\pi/2} \implies z = e^{i\pi/2} = i$$bzw. vollständig$$z_{1,2,3}= e^{\left(\frac 32 i\pi + k\cdot 2i\pi\right)/3}, \quad k=\{0,1,2\}\\\implies z_1 = i, \quad z_2 = e^{\frac76 i\pi}, \quad z_3 = e^{\frac{11}6 i\pi}$$.. frage bitte nach, was Du nicht verstehst, bevor ich jetzt hier irgendwas erkläre, was Du sowieso weißt ;-)

Nachtrag:

zum Verständnis habe ich Dir ein CindyJS-Applet gebastelt, was hoffentlich zum Verständnis beiträgt


Die Zahl \(z\) befindet sich hier auf dem Einheitskreis. Multipliziert man \(z\) zweimal mit sich selbst, so landet man bei \(z^3\). Der Betrag - also der Abstand von \(Z\) zum Ursprung \(O\) - bleibt dabei konstant bei \(|z|=1\). D.h. auch \(z^3\) liegt auf dem Einheitskreis. Der Winkel den \(OZ\) zur reellen Achse einnimmt, wird dabei verdreifacht.

Nun bewege den Punkt \(Z\) auf dem Kreis und beobachte wo \(Z\) sich befindet, wenn \(z^3\) bei \(-i\) (der grüne Punkt) landet.

Gruß Werner

von 37 k

CindyJs-Applet hinzu gefügt (s.o.)

Vielen Dank für die Antwort ich verstehe den Lösungsweg von GrosserLoewe etwas besser aber der Visuelle Nachtrag ist gut ;)

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