Bestimmen Sie alle Lösungen in der kartesischen Form von Z3 = \frac{1}{i}

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie alle Lösungen in der kartesischen Form von Z^3 = $\frac{1}{i}$

Problem/Ansatz:

Ich will logischerweise zuerst r bestimmen mit r²=a²+b²

Ich habe schon versucht alles umzustellen komme aber trotzdem nicht weiter:

Z³=i^-1 dann dritte wurzel ziehen:

Z= i^(-1*$\frac{1}{3}$) ergibt ja Z= i^(-$\frac{1}{3}$) nur leider komme ich immer noch nicht an mein b ran (a existiert ja eh nicht)

Ich würde die nächsten schritte danach erstmal alleine probieren vielen dank im voraus :)

Comments

Laut Wolfram ist $\frac{1}{i}$ = - i

Answer 1

Hallo,

Meine Berechnung:

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Wahnsinn du kannst echt alles :D ich komme dann auf die gleichen Lösungen nur verstehe ich eine Sache noch nicht: Warum kann ich nicht den Winkel errechnen mit arctan$\frac{b}{a}$ erhalte dann meinen Winkel und errechne dann das Bogenmaß mit ($\frac{Winkel alpha}{57,296}$)? da ich den dritten quadranten habe sind es dann pi + bogenmaß. nur leider haut das ja irgendwie nicht hin weil ich ja einen winkel von 0 rauskriegen würde ... also ich verstehe nicht ganz wofür ich dann diese angaben für die einzelnen quadranten brauche wenn die scheinbar falsch sind: 1Q: bogenmaß bleibt wie errechnet. 2Q: pi-Bogenmaß. 3Q: pi+Bogenmaß. 4Q: 2pi-Bogenmaß

Answer 2

$z^3=\dfrac1i=\dfrac{1\cdot (-i)}{i\cdot(-i)}=-i=1\cdot e^{3i\pi/2}\\ z_1=e^{i\pi/2}=i\\ z_2=e^{7i\pi/6}=-\frac{\sqrt3}{2}-\frac i2 \\z_3=e^{11i\pi/6}=\frac{\sqrt3}{2}-\frac i2$

:-)

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Vielen Dank für die Hilfe ! ;)

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-i=$e^{0,5*3*π}$   ??

Wolfram sagt, das sei falsch.

Ich sehe gerade, dass du das i im Exponent vergessen hast.

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Danke für den Hinweis, Moliets.

Ich habe es berichtigt.

:-)

Answer 3

Hallo Lapplöffel, $$\frac 1i = -i$$ was auch irgendwie logisch ist, wenn man eine gewisse Vorstellung von komplexen Zahlen hat. Hat man die nicht, geht das formal so:$$\frac 1i = \frac 1{0 + 1i} = \frac{0-1i}{(0+1i)(0-1i)} = \frac{-i}{0^2 - i^2} = \frac {-i}{-(-1)} = -i$$Folglich suchen wir ein $z$ mit $$z^3 = -i$$Nun ist $i=e^{i\pi/2}$ und somit$$-i = -e^{i\pi/2} = -1 \cdot e^{i\pi/2} = e^{i\pi}\cdot e^{i\pi/2} = e^{3i\pi/2}$$was auch auf der Hand liegt; stelle Dir doch mal $-i$ in der Gaußschen Zahlenebene vor. Und daraus folgt$$z^3 = e^{3i\pi/2} \implies z = e^{i\pi/2} = i$$bzw. vollständig$$z_{1,2,3}= e^{\left(\frac 32 i\pi + k\cdot 2i\pi\right)/3}, \quad k=\{0,1,2\}\\\implies z_1 = i, \quad z_2 = e^{\frac76 i\pi}, \quad z_3 = e^{\frac{11}6 i\pi}$$.. frage bitte nach, was Du nicht verstehst, bevor ich jetzt hier irgendwas erkläre, was Du sowieso weißt ;-)

Nachtrag:

zum Verständnis habe ich Dir ein CindyJS-Applet gebastelt, was hoffentlich zum Verständnis beiträgt

https://jsfiddle.net/WernerSalomon/5soakfq2/25/

Die Zahl $z$ befindet sich hier auf dem Einheitskreis. Multipliziert man $z$ zweimal mit sich selbst, so landet man bei $z^3$. Der Betrag - also der Abstand von $Z$ zum Ursprung $O$ - bleibt dabei konstant bei $|z|=1$. D.h. auch $z^3$ liegt auf dem Einheitskreis. Der Winkel den $OZ$ zur reellen Achse einnimmt, wird dabei verdreifacht.

Nun bewege den Punkt $Z$ auf dem Kreis und beobachte wo $Z$ sich befindet, wenn $z^3$ bei $-i$ (der grüne Punkt) landet.

Gruß Werner

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CindyJs-Applet hinzu gefügt (s.o.)

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Vielen Dank für die Antwort ich verstehe den Lösungsweg von GrosserLoewe etwas besser aber der Visuelle Nachtrag ist gut ;)