Zeigen Sie, dass es eine differenzierbare Funktion φ:ℝ→ℝ gibt mit f(x,y) = φ(x+y).

Question

Aufgabe:

Sei f:ℝ²→ ℝ eine total differenzierbare Funktion mit der Eigenschaft, dass

\( \frac{∂f}{∂x} \) (x,y) = \( \frac{∂f}{∂y} \) (x,y)

für alle (x,y)∈ℝ².

Zeigen Sie, dass es eine differenzierbare Funktion φ:ℝ→ℝ gibt mit f(x,y) = φ(x+y).

Ich bin wirklich schon am Verzweifeln. ich kriege das gar nicht hin

Answer 1

Hallo,

wenn es eine solche Funktion gibt, dann ist notwendig \(\phi(x):=f(x,0)\).

Wir bestätigen, dass dieses \(\phi\) das Gewünschte leistet, also

$$\phi(x+y)=f(x+y,0)=f(x,y)$$

ist. Dazu definieren wir die Hilfsfunktion

$$h(t):=f(x+y-ty,ty)$$

und differenzieren sie mit der Kettenregel:

$$h'(t)=\partial_xf(.,.)(-y)+\partial_yf(.,.)y=0$$

Also ist \(h(0)=h(1)\), was die Behauptung ist.

Gruß Mathhilf

Comments

danke vielmals